"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г.
Деление на число, оканчивающееся нулями, часто можно упростить: делимое и делитель делят на одинаковую степень десяти, а затем выполняют обычное деление. Так уменьшается количество цифр, но частное остаётся прежним. Сокращать разрешено только на общий множитель — число, на которое делятся оба числа. Если при делении получается остаток, после сокращения его нужно перевести обратно к исходным числам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Делимое — число, которое делят. В записи 840 : 20 = 42 делимое — 840: оно показывает, какое количество нужно разделить на равные части или группы. Чтобы не перепутать числа, помни: делимое стоит перед знаком деления.
Делитель — число, на которое делят. В записи 840 : 20 = 42 делитель — 20; он показывает размер одной группы или количество групп, в зависимости от смысла задачи. Делитель оканчивается нулём, если его последняя цифра — 0, например 20, 300 или 1200.
Частное — результат деления. В записи 840 : 20 = 42 частное равно 42, и оно показывает, сколько получилось при делении. Эти числа связаны равенством: делимое = делитель × частное; по нему удобно проверить вычисление умножением.
Общий множитель делимого и делителя — число, на которое делятся оба числа. Например, для 840 и 20 таким множителем является 10. Если разделить на него и делимое, и делитель, частное останется тем же, поэтому общий множитель помогает упростить вычисление.
Число с конечными нулями часто удобно делить не сразу, а после упрощения. Например, делить 840 на 20 проще, если заменить это действие делением 84 на 2: в записи становится меньше цифр. Такой переход допустим, потому что оба числа уменьшаются одинаково, а не потому, что нули можно просто отбросить.
Почему частное при этом сохраняется? Пусть частное равно q, тогда исходное делимое равно исходному делителю, умноженному на q. Если оба числа разделить на одно и то же ненулевое число, равенство тоже разделится на него, а q останется прежним. Поэтому сокращённое деление даёт то же частное, что и исходное.
Чтобы узнать, сколько нулей убрать, сравни конечные нули у делимого и делителя. Можно убрать только одинаковое их количество, которое есть у обоих чисел: это и есть общий множитель — соответствующая степень десяти. Например, у 12 600 два конечных нуля, а у 300 — два, поэтому оба числа можно разделить на 100.
После сокращения запиши полученные числа и раздели их обычным способом. Например, 12 600 : 300 превращается в 126 : 3, которое легко вычислить. Если общих конечных нулей нет, это не мешает делению: просто используй обычный способ или ищи другой общий множитель, если он удобен.
Проверку выполняют на исходных числах: делитель умножают на частное и сравнивают с делимым. При делении с остатком используют равенство «делимое = делитель × частное + остаток», а остаток должен быть меньше делителя. Если числа сократили в 10 раз, найденный остаток тоже относится к сокращённому делению: для исходных чисел его нужно умножить на 10.
| Ситуация | Что сделать | Почему частное сохраняется | Проверка |
|---|---|---|---|
| Делимое и делитель имеют одинаковое количество конечных нулей | Разделить оба числа на 10, 100 или другую общую степень десяти | Делимое и делитель уменьшены во столько же раз | Умножить исходный делитель на частное |
| В делимом нулей меньше, чем в делителе | Сократить оба числа только на общие конечные нули, затем выполнить деление | Сокращение возможно лишь на общий множитель | Проверить умножением; при наличии остатка учесть его |
Сначала найди, сколько конечных нулей есть одновременно у делимого и делителя, и сократи оба числа на соответствующую степень десяти. Если нулей у чисел поровну, можно убрать их все; если количество различается, убирай только общие. После вычисления проверяй результат по исходным числам, а не только по сокращённым.
Оба числа оканчиваются одним нулём, поэтому можно разделить их на 10. Это упростит вычисление, а частное не изменится, потому что делимое и делитель уменьшатся одинаково. Затем останется разделить 84 на 2.
Ответ: 42.
У делимого и делителя по два конечных нуля, поэтому оба числа можно разделить на 100. После сокращения вместо деления многозначных чисел получим 126 : 3. Проверку выполним умножением исходного делителя на частное.
Ответ: 42.
Общий конечный ноль есть у обоих чисел, поэтому разделим делимое и делитель на 10. В сокращённом делении остаток получится в десять раз меньше остатка исходного деления. Значит, при возвращении к исходным числам частное останется прежним, а остаток нужно умножить на 10.
Ответ: 24, остаток 50.
Ошибка — убрать нули только у делителя, например превратить 840 : 20 в 840 : 2. Так меняется делитель, а делимое остаётся прежним, поэтому частное становится другим. Эту ошибку допускают, сосредоточившись на том, чтобы упростить только число после знака деления. Проверяй себя: сокращение должно одинаково менять оба числа.
Нельзя убирать разное количество нулей у делимого и делителя. Это значит разделить числа на разные множители, поэтому равенство, сохраняющее частное, уже не действует. Иногда кажется, что каждый ноль можно убрать отдельно, но каждый шаг должен быть общим для пары чисел. Перед вычислением запиши, на какое одно и то же число делишь оба числа.
Нельзя сокращать нули, которых нет у одного из чисел, или убирать больше общих нулей, чем есть. Причина ошибки — путать конечные нули с цифрами, которые можно удалить из записи произвольно. Сравни количество конечных нулей в делимом и делителе и бери меньшее из двух количеств. После сокращения убедись, что оба новых числа действительно получены делением на одинаковую степень десяти.
При делении с остатком опасно забыть, что сокращённый остаток относится к сокращённым числам. Если деление сократили в 10 раз, исходный остаток в 10 раз больше найденного. Проверь ответ равенством на исходных числах: делимое = делитель × частное + остаток. Также проверь, что исходный остаток меньше исходного делителя.
Для этого способа нужно уметь выполнять письменное деление и проверять его умножением: эти навыки понадобятся после сокращения и при проверке результата. Также важно понимать умножение и деление на 10, 100 и другие степени десяти, ведь именно так убирают общие конечные нули. Приём пригодится при письменном делении многозначных чисел и решении задач на пропорциональное распределение, когда вычисления удобнее упростить заранее.
Почему при делении можно убрать нули и у делимого, и у делителя?
Убирая одинаковое количество конечных нулей, мы делим оба числа на одно и то же число: 10, 100 и так далее. Частное сохраняется, потому что делимое и делитель уменьшаются во столько же раз.
Можно ли убрать у делимого больше нулей, чем у делителя?
Нет, так делать нельзя: числа будут разделены на разные множители, и частное изменится. Убирай только одинаковое количество общих конечных нулей.
Что делать, если у делимого и делителя разное количество конечных нулей?
Сократи оба числа только на то количество конечных нулей, которое есть у них обоих. Например, если у делимого два нуля, а у делителя один, можно разделить оба на 10.
Как проверить деление на число, оканчивающееся нулями?
Умножь исходный делитель на полученное частное: при делении без остатка должно получиться исходное делимое. Если есть остаток, проверь равенство «делимое = делитель × частное + остаток».
Как учитывать остаток после сокращения чисел?
Остаток, найденный после сокращения на число, нужно умножить на это число, чтобы получить остаток для исходных чисел. Проверь, что исходное делимое равно произведению исходного делителя и частного плюс новый остаток, а остаток меньше исходного делителя.
Деление на числа, оканчивающиеся нулями
