"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г.
Равномерным называют процесс, в котором за равные промежутки одной величины другая изменяется одинаково. Например, при постоянной скорости пешеход проходит равные расстояния за равное время, а насос за одинаковые промежутки подаёт одинаковое количество воды. Скорость — отношение изменений величин: она показывает, насколько быстро идёт процесс. Зная скорость, можно сравнивать процессы и находить результат за любой промежуток.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерный процесс — процесс, в котором за равные промежутки времени изменения одной величины пропорциональны изменениям другой. Например, при равномерном движении тело проходит равные расстояния за равное время, а равномерно работающий насос за одинаковые промежутки подаёт одинаковое количество воды. Понятие помогает понять, можно ли описывать процесс одним постоянным отношением изменений.
Скорость равномерного процесса — отношение изменения одной величины к соответствующему изменению другой. При движении это пройденное расстояние, делённое на время, а при работе насоса — объём воды, делённый на время. Скорость нужна, чтобы определить, насколько быстро протекает процесс и сопоставить разные процессы.
Единица скорости — единица измерения изменения одной величины, делённая на единицу измерения времени или другой величины, относительно которой рассматривают процесс. Например, расстояние в километрах и время в часах дают единицу км/ч, а объём в литрах и время в минутах — л/мин. Такая запись показывает, сколько единиц результата приходится на одну единицу промежутка.
Сравнение равномерных процессов — сопоставление их скоростей при одинаковых единицах измерения и выборе сравниваемых величин. Можно сравнить, например, сколько воды за минуту подают два насоса или сколько деталей за минуту делают два станка. Это позволяет установить, какой процесс быстрее и во сколько раз.
Чтобы проверить, равномерно ли идёт процесс, наблюдают за ним в нескольких равных промежутках и измеряют изменения величины в каждом. Если результаты одинаковы, например насос каждую минуту подаёт по 4 л, наблюдения согласуются с равномерностью. Равные промежутки нужны потому, что за более долгое время обычно накапливается большее изменение, и напрямую сравнивать такие результаты нельзя.
Общее изменение само по себе не показывает, насколько быстро шёл процесс: важно знать, сколько времени на него потребовалось. Один пешеход может пройти 8 км за 2 часа, а другой — за 4 часа; расстояние одинаковое, но скорости разные. Поэтому для характеристики процесса рассматривают изменение вместе с соответствующим промежутком, а не только итог.
Скорость находят делением изменения одной величины на соответствующий промежуток: скорость = изменение величины ÷ промежуток. Например, если за 3 минуты в ёмкость поступило 12 л воды, нужно вычислить 12 ÷ 3 = 4. Ответ записывают вместе с единицами: 4 л/мин, то есть 4 л за минуту; единицы помогают понять смысл числа.
При равномерном процессе отношение изменений сохраняется: если за 1 минуту насос подаёт 4 л, за 3 минуты он подаст 12 л. Поэтому вычисленная скорость будет той же, какой бы промежуток мы ни выбрали: и короткий, и длинный отрезок дают одинаковое отношение изменений. Это постоянство и позволяет находить результат на новом промежутке, умножая скорость на его длительность.
Чтобы сравнить два процесса, сначала находят их скорости и приводят значения к одинаковым единицам. Если один насос подаёт 4 л/мин, а другой 5 л/мин, второй быстрее; отношение 5 ÷ 4 показывает, что его скорость в 1,25 раза больше. Сравнивать можно только скорости, относящиеся к сопоставимым величинам: например, объём воды за время с объёмом воды за время.
| Характеристика | Процесс 1 | Процесс 2 |
|---|---|---|
| Какие величины изменяются | Объём воды и время | Объём воды и время |
| Изменение величин за выбранный промежуток | 12 л за 3 мин | 20 л за 4 мин |
| Скорость процесса и способ её вычисления | 12 ÷ 3 = 4 л/мин | 20 ÷ 4 = 5 л/мин |
| Единицы измерения скорости | л/мин | л/мин |
| Какой процесс протекает быстрее и во сколько раз | Медленнее | В 1,25 раза быстрее |
Заполните такую таблицу данными о двух сравниваемых процессах. Сначала запишите изменения за известный промежуток, затем вычислите скорости и проверьте, что их единицы совпадают. Последняя строка показывает, какой процесс быстрее; отношение большей скорости к меньшей указывает, во сколько раз.
Пешеход за 2 часа проходит 8 км. Нужно найти скорость движения. Расстояние и время уже указаны в подходящих единицах, поэтому можно сразу вычислить, сколько километров приходится на один час.
Ответ: скорость пешехода — 4 км/ч.
Первый насос наполняет 12 л воды за 3 минуты, второй — 20 л за 4 минуты. Чтобы сравнить работу насосов, недостаточно сопоставить 12 л и 20 л: насосы работали разное время. Найдём объём воды, подаваемый каждым за минуту.
Ответ: второй насос работает быстрее в 1,25 раза.
Первый станок делает 45 деталей за 5 минут, второй — 72 детали за 8 минут. Найдём скорость каждого, чтобы сравнить их на одинаковой основе. Затем используем постоянство скорости, чтобы определить выпуск за 20 минут.
Ответ: станки работают с одинаковой скоростью; за 20 минут каждый изготовит 180 деталей.
Можно решить, что быстрее процесс с большим общим изменением, не учитывая длительность: например, увидеть, что один насос подал больше воды, и не заметить, что он работал дольше. Так ошибаются, потому что сравнивают результаты за разные промежутки. Найдите скорость каждого процесса и сравните её при одинаковых единицах — эта проверка учитывает время.
Если разделить время на изменение, получится обратное отношение, а не скорость: например, часы на километры вместо километров в час. Такая ошибка возникает, когда порядок деления не связывают со смыслом единиц. Проверьте себя вопросом: сколько единиц результата приходится на одну единицу времени? В записи ответа время должно оказаться в знаменателе единицы скорости.
Сравнение, например, 60 м/мин и 1 м/с без перевода единиц может привести к неверному выводу. Числа относятся к разным промежуткам времени, поэтому их нельзя просто сопоставить. Переведите обе скорости в одинаковые единицы, а затем сравните; при переводе проверяйте, что значение скорости сохраняется.
Нельзя считать скорость постоянной для любого процесса: это свойство именно равномерного процесса. Например, движение может ускоряться или замедляться, и тогда за равные промежутки тело проходит разные расстояния. Проверьте, меняется ли отношение изменений на разных промежутках; если меняется, одной постоянной скоростью весь процесс описать нельзя.
Для работы с процессами нужны умения находить разность величин, делить числа и правильно записывать единицы измерения. Тема опирается на прямую пропорциональность: при постоянной скорости увеличение промежутка во столько же раз увеличивает изменение величины. Идея скорости применяется не только к движению, но и к производительности труда, наполнению ёмкостей и другим процессам, где сравнивают результат за единицу времени.
Как понять, что процесс равномерный?
Сравните изменения величины за равные промежутки времени. Если за каждый такой промежуток величина изменяется одинаково, процесс равномерный. Например, насос равномерно наполняет ёмкость, если за каждую минуту подаёт одно и то же количество воды.
Почему скорость находят делением изменения величины на время?
Так мы узнаём, сколько единиц величины приходится на одну единицу времени. Например, деление пройденного расстояния на время показывает, сколько километров пройдено за час. Для других процессов делят соответствующее изменение, например число деталей, на длительность работы.
Может ли скорость измеряться не в километрах в час?
Да. Единицы выбирают в зависимости от процесса и измеряемых величин: например, метры в секунду, литры в минуту или детали в час. Единица скорости показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.
Как сравнить скорости, записанные в разных единицах?
Сначала переведите скорости в одинаковые единицы, сохранив равенство значений. Например, чтобы сравнить метры в минуту и метры в секунду, переведите обе скорости в одну из этих единиц. Затем сравните полученные числа.
Одинаковы ли скорость и общее изменение величины?
Нет. Общее изменение — это результат за весь выбранный промежуток, а скорость показывает изменение на единицу времени или другой величины. За больший промежуток при одинаковой скорости обычно накапливается большее изменение.
Сравнение равномерных процессов. Скорость равномерного процесса
