§ 1. Геометрические фигуры на плоскости

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек плоскости. Фигуру можно рассматривать как единое целое, а можно увидеть в ней другие фигуры: например, у треугольника есть стороны и вершины. Такое представление помогает описывать чертёж по частям и понимать, из каких элементов он состоит.

Точка — основная геометрическая фигура, у которой нет измеримых размеров. На чертеже её отмечают маленькой точкой и обычно называют заглавной латинской буквой: A, B, C. Буква позволяет точно указать положение точки и отличить её от других точек.

Прямая — линия, которая бесконечно продолжается в обе стороны. Её называют по двум лежащим на ней точкам: например, прямая AB проходит через точки A и B. Такое обозначение удобно, потому что двух различных точек достаточно, чтобы задать прямую.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка; например, отрезок AB имеет концы A и B и включает все точки между ними. Отрезок обозначают буквами его концов, а его длину можно измерить.

Как это устроено

Геометрические фигуры изображают на плоскости, потому что так удобно показывать их взаимное расположение и части. Точки помогают отмечать положение объектов, а также границы некоторых фигур. Например, концы отрезка задают, где он начинается и где заканчивается. Поэтому на чертеже буквами подписывают важные точки.

Через две различные точки можно провести прямую, и такая прямая будет только одна. Если бы через одни и те же точки проходили две разные прямые, они пересекались бы сразу в двух точках, хотя две прямые могут иметь не больше одной общей точки. Значит, пара точек однозначно определяет прямую. Поэтому прямую можно назвать по любым двум точкам, которые на ней лежат.

Чтобы получить отрезок, на прямой выбирают две точки и рассматривают часть между ними вместе с самими точками. Выбранные точки становятся концами, поэтому отрезок ограничен и имеет определённую длину. Её можно измерить линейкой, а затем записать результат в сантиметрах или других единицах. Прямая же не ограничена концами, поэтому измерить её целиком нельзя.

Луч начинается в одной точке и бесконечно продолжается в одном направлении. У него есть начало, но нет конца с другой стороны. Если сравнить эти фигуры, у прямой нет ни начала, ни конца, у отрезка есть два конца, а у луча — только одно начало. Луч обычно называют сначала по начальной точке, например луч OA.

Угол образуют два луча с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами: у угла AOB вершина O, стороны OA и OB. В названии из трёх букв вершину ставят посередине, чтобы было ясно, какая точка является общей для сторон. Один и тот же угол можно назвать ∠AOB или ∠BOA.

Основные фигуры на плоскости

Сначала найди на чертеже особые точки: например, концы отрезка или общую вершину лучей. Затем определи, бесконечна ли фигура, ограничена ли она и в каком направлении продолжается. После этого выбери обозначение, подходящее именно для этой фигуры.

Разбор задач

Прямая и отрезок через точки A и B

Условие: на чертеже отмечены точки A и B. Нужно назвать прямую, проходящую через них, и отрезок с концами A и B. Для ответа важно различить бесконечную линию и её ограниченную часть. Обе фигуры связаны с теми же точками, но устроены по-разному.

1. Прямая через A и B продолжается в обе стороны от этих точек. Поэтому её называют прямой AB.
2. Отрезок с концами A и B содержит точки между ними и сами концы. Его называют отрезком AB.
3. Проверь: у прямой нет концов, а у названного отрезка концами служат именно A и B.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Одинаковые буквы указывают на точки, но название фигуры и её свойства подсказывают, о чём идёт речь. В записи важно не забыть, что отрезок ограничен, а прямая бесконечна.

Отрезки с концами в точках A, B и C

Условие: точки A, C и B лежат на одной прямой, причём C находится между A и B. Нужно перечислить отрезки, концы которых выбраны из этих трёх точек. Слова о порядке точек показывают, что весь путь от A до B проходит через C. Но каждый отрезок задаётся парой концов, а не только соседними точками.

1. Составь все пары разных точек: A и C, C и B, A и B.
2. Для каждой пары назови отрезок: AC, CB и AB. Перестановка букв в названии не создаёт новый отрезок: AB и BA обозначают один и тот же отрезок.
3. Проверь, что перечислены все пары: из трёх точек можно выбрать три разные пары.

Ответ: три отрезка — AC, CB и AB. Отрезок AB является целым отрезком между крайними точками, а AC и CB — его части. Поэтому нужно назвать все три, а не только два коротких отрезка.

Угол, образованный лучами OA и OB

Условие: из точки O проведены лучи OA и OB. Нужно назвать угол и указать его вершину и стороны. Начальные точки лучей совпадают, значит, они образуют угол именно при O. Для названия тремя буквами надо поместить эту точку в середину записи.

1. Найди общую точку лучей OA и OB. Это точка O, и она является вершиной угла.
2. Запиши буквы точки на первом луче, вершины и точки на втором луче: AOB. Так получается название угла ∠AOB.
3. Проверь запись: средняя буква O совпадает с вершиной, а стороны угла — лучи OA и OB. Поменять местами A и B можно, поэтому верно и ∠BOA.

Ответ: угол AOB (или BOA), вершина — O, стороны — лучи OA и OB. Если в названии из трёх букв поставить O не посередине, запись не укажет вершину как положено. Общая точка лучей помогает проверить ответ.

Типичные ошибки

Иногда прямую рисуют как конечную черту и начинают считать, что у неё есть концы. На чертеже её действительно показывают ограниченной линией, потому что весь бесконечный объект изобразить нельзя. Это условное изображение, а сама прямая продолжается в обе стороны. Проверь себя: если линия обозначена как прямая, мысленно продли её за края рисунка.

Другая ошибка — считать отрезком только две точки на его концах. Так забывают, что отрезок включает все точки между ними, а не только крайние. Путаница возникает, когда концы отмечены точками, а середина никак не выделена. Проверь себя: любая точка между концами тоже принадлежит отрезку.

Луч можно принять за прямую или отрезок, если смотреть только на короткий участок рисунка. Но у луча есть начало и бесконечное продолжение лишь в одном направлении. Определи, отмечена ли начальная точка и есть ли у фигуры два конца. У луча начало одно, а второго конца нет.

При названии угла тремя буквами иногда ставят букву вершины первой или последней. Так нарушается правило обозначения: средняя буква должна указывать на общую точку сторон. Ошибка появляется, если назвать точки, не проверив, какая из них является вершиной. Проверь себя по чертежу: буква в середине названия должна совпасть с началом обоих лучей.

Связь с другими темами

Чтобы работать с фигурами на плоскости, нужно уметь распознавать точки и линии на чертеже, пользоваться буквенными обозначениями и измерять длины отрезков. Эти навыки помогают читать геометрические записи и сравнивать фигуры. Отрезки и углы станут частями многоугольников: длины их сторон используют при нахождении периметра, а сами углы изучают и измеряют. Поэтому точное обозначение фигур пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• Геометрическая фигура состоит из точек плоскости.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Отрезок ограничен двумя концами и имеет измеримую длину.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• В названии угла из трёх букв буква вершины стоит посередине.