5. Следование и свойства предметов

Определения и обозначения

Свойство предмета — признак, по которому предметы можно разделить на обладающие им и не обладающие им. Например, свойство «число чётное» позволяет отнести одни числа к одной группе, а остальные — к другой. Так мы задаём множество предметов, то есть их группу по общему признаку. Это нужно, чтобы точно говорить о целой группе, а не перечислять каждый предмет отдельно.

Условие — свойство или утверждение, которое рассматривают как исходное в рассуждении. Например, в высказывании «если число делится на 4, то оно чётное» условие — «число делится на 4». Оно задаёт, какие предметы мы сначала рассматриваем. Условие нужно, чтобы понимать, с чего начинается рассуждение.

Заключение — утверждение, которое получают из условия. В примере про делимость на 4 заключение — «число чётное». Оно сообщает, что должно оказаться верным для предметов, удовлетворяющих условию. Разделение на условие и заключение помогает увидеть, что именно требуется проверить.

Следование — связь между условием и заключением: заключение следует из условия, если всякий предмет, удовлетворяющий условию, удовлетворяет и заключению. Коротко это можно записать: A влечёт B, где A — условие, а B — заключение. Смысл записи не в том, что оба свойства одинаковы, а в том, что ни один предмет с A не должен нарушать B. Это определение помогает проверять рассуждения строго.

Как это устроено

Свойство задаёт множество предметов: в него входят все предметы, для которых свойство верно. Например, свойство «число делится на 4» выделяет из чисел группу кратных 4. У каждого числа можно проверить, принадлежит ли оно этой группе, поэтому свойство становится способом классификации. Когда сравнивают два свойства, сравнивают и соответствующие им группы предметов.

Чтобы проверить, следует ли второе свойство из первого, нужно проверить все предметы с первым свойством. Каждый из них должен обладать и вторым свойством. Например, можно рассуждать о любом числе, которое делится на 4: оно имеет вид 4 · n, где n — целое число, и потому является чётным. Проверка только некоторых чисел не охватывает всю группу, поэтому для общего вывода нужно рассуждение, подходящее к каждому предмету.

Следование можно опровергнуть одним предметом, у которого условие истинно, а заключение ложно. Ведь утверждение о следовании обещает, что таких предметов нет ни одного. Если нашли хотя бы один, обещание нарушено. Например, число 6 чётное, но на 4 не делится, поэтому оно опровергает переход от чётности к делимости на 4.

Прямое следование и обратное — разные утверждения. В прямом проверяют, влечёт ли A свойство B, а в обратном — влечёт ли B свойство A. Даже если первая проверка успешна, результат второй из неё не вытекает: группы предметов могут быть разного размера. Поэтому при любом сравнении нужно явно назвать исходное свойство и отдельно проверить каждое направление.

Если A влечёт B, то B называют необходимым условием для A: чтобы предмет обладал A, он обязательно должен обладать B. А A называют достаточным условием для B, потому что наличия A хватает, чтобы заключить, что верно B. Например, делимость на 4 достаточна для чётности, а чётность необходима для делимости на 4. Слово «достаточное» отвечает на вопрос, хватает ли условия для вывода, а «необходимое» — можно ли обойтись без этого признака.

Как проверять следование между свойствами

Сначала сформулируйте условие и заключение, затем проверьте, можно ли найти предмет с верным условием и неверным заключением. Если такого предмета нет, требуется общее доказательство, а не только несколько примеров. Для обратного направления повторите проверку, поменяв свойства местами.

Разбор задач

Задача 1. Проверьте, следует ли из свойства «число делится на 4» свойство «число чётное». Здесь условие — делимость на 4, а заключение — чётность. Нужно убедиться, что вывод верен для любого числа, удовлетворяющего условию.

1. Возьмём любое число, которое делится на 4. Его можно записать как 4 · n, где n — целое число.
2. Преобразуем запись: 4 · n = 2 · (2 · n). Значит, это число делится на 2.
3. Число, делящееся на 2, является чётным. Рассуждение подходит для любого числа, делящегося на 4.

Ответ: да, из делимости на 4 следует чётность.

Задача 2. Проверьте, следует ли из свойства «число чётное» свойство «число делится на 4». Для опровержения достаточно найти одно число, которое подходит под условие, но не подходит под заключение. Не нужно проверять все чётные числа, если такой пример уже найден.

1. Возьмём число 6. Оно чётное, потому что делится на 2.
2. Проверим заключение: 6 не делится на 4 без остатка.
3. Значит, у 6 условие верно, а заключение неверно. Это контрпример.

Ответ: нет, следования нет; контрпример — число 6.

Задача 3. Сравните свойства «четырёхугольник является квадратом» и «четырёхугольник имеет четыре равные стороны». Установите оба направления и определите необходимое и достаточное условия. Удобно сначала рассмотреть квадрат, а затем поискать четырёхугольник с четырьмя равными сторонами, который не является квадратом.

1. Каждый квадрат имеет четыре равные стороны по определению. Значит, свойство «быть квадратом» влечёт свойство «иметь четыре равные стороны».
2. Обратный переход неверен: ромб может иметь четыре равные стороны, но не быть квадратом, если его углы не прямые. Ромб служит контрпримером.
3. Следовательно, равенство сторон необходимо для квадрата, а свойства «быть квадратом» достаточно, чтобы заключить, что стороны равны.

Ответ: следование верно только от свойства «быть квадратом» к свойству «иметь четыре равные стороны». Обратное следование неверно.

Типичные ошибки

Считать, что из A следует B, а значит, и из B следует A, — ошибка: меняется направление рассуждения. Так думают, когда воспринимают два свойства как равнозначные, хотя одно может быть более точным. Проверьте обратный переход отдельно, попробовав найти предмет со свойством B, но без A.

Несколько удачных примеров не доказывают следование для всех предметов. Примеры показывают отдельные случаи, а среди непроверенных могут оказаться другие. Чтобы проверить себя, спросите, объяснили ли вы, почему правило работает для любого предмета с условием, или только перечислили примеры.

Нельзя опровергнуть следование предметом, для которого условие неверно: он вообще не входит в рассматриваемую группу. Контрпример должен удовлетворять условию и не удовлетворять заключению. Перед выводом проверьте оба свойства у выбранного предмета, например у числа 6 в задаче о чётности и делимости на 4.

Необходимое и достаточное условия легко перепутать, если не назвать исходное свойство. При A → B свойство B необходимо для A, а A достаточно для B. Проверьте себя вопросами: «Что обязательно должно быть у предмета с A?» и «Какого условия хватает, чтобы получить B?».

Связь с другими темами

Для работы с темой нужно уметь распознавать свойства предметов и проверять, истинно ли утверждение о конкретном предмете. Это помогает правильно выбрать условие и заключение и не принять неподходящий пример за доказательство. Например, проверяя свойство числа, нужно подставить конкретное число и решить, верно ли высказывание именно о нём.

Следование пригодится при доказательстве утверждений и классификации объектов: оно помогает обосновать, почему предмет относится к определённой группе. Позже такие рассуждения встретятся при изучении логических связок и правил, по которым из одних утверждений получают другие. Умение различать прямой и обратный переход не даёт сделать лишний вывод.

Что запомнить

• Следование проверяют для всех предметов, удовлетворяющих условию.
• Один контрпример опровергает следование.
• Прямое и обратное следования — разные утверждения.
• Если A влечёт B, то B является необходимым условием для A.
• Если A влечёт B, то A является достаточным условием для B.
• Взаимное следование означает, что верны оба направления.