"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
При вычитании двузначных чисел удобно учитывать десятки и единицы по отдельности. Если единиц не хватает, один десяток можно разменять на 10 единиц: так решается пример 32 − 5. Но когда вычитаемое больше уменьшаемого, как в записи 32 − 35, натурального результата нет. Разбор помогает не путать разряды, проверять вычисления сложением и понимать, когда для ответа нужны отрицательные числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разрядный состав двузначного числа — это количество десятков и единиц в нём. Например, 32 = 30 + 2, то есть это 3 десятка и 2 единицы. Такое представление помогает понять, какие части числа можно вычитать отдельно.
Вычитание с переходом через разряд — это вычитание, при котором один десяток разменивают на 10 единиц. Оно нужно, когда единиц в уменьшаемом меньше, чем требуется вычесть. После размена можно выполнить вычитание единиц, не изменив самого числа.
В записи 32 − 5 число 32 — уменьшаемое, число 5 — вычитаемое, а полученный результат — разность. Уменьшаемое показывает, из какого количества убирают часть, а вычитаемое — какую часть убирают. Разность показывает, сколько осталось.
Разность равных чисел равна нулю: например, 32 − 32 = 0. Это правило помогает рассуждать о выражении, в котором вычитаемое больше уменьшаемого: можно сначала вычесть всё уменьшаемое, а затем учесть, сколько ещё единиц нужно вычесть. В натуральных числах такой результат не всегда существует.
Десятки и единицы удобно учитывать отдельно, потому что десять единиц составляют один десяток. Если в обоих разрядах уменьшаемого достаточно для вычитания, можно найти разности десятков и единиц и затем сложить их. Например, в 47 − 23 десятки и единицы вычитаются без размена. Но если единиц не хватает, сначала нужно изменить разрядный состав уменьшаемого.
Вычислим 32 − 5. В числе 32 есть 3 десятка и 2 единицы, а пяти единиц из двух не вычесть. Разменяем один десяток на 10 единиц: вместо 3 десятков 2 единиц получим 2 десятка 12 единиц. Теперь вычитаем 5 единиц из 12 и оставляем 2 десятка: 20 + 7 = 27. Размен не меняет число, потому что 3 десятка 2 единицы и 2 десятка 12 единиц обозначают одно и то же количество.
Проверка сложением опирается на связь вычитания со сложением: если из уменьшаемого убрали вычитаемое, то, прибавив его обратно к остатку, должны восстановить исходное число. Поэтому для 32 − 5 проверяем: 27 + 5 = 32. Если сумма не равна уменьшаемому, значит, при вычислении или проверке допущена ошибка. Проверка подтверждает результат, но сама по себе не заменяет объяснение размена.
В выражении 32 − 35 вычитаемое больше уменьшаемого, поэтому сначала выясняем, какие числа разрешено использовать. Можно представить 35 как 32 + 3: тогда 32 − 35 означает убрать из 32 всё количество 32, а затем убрать ещё 3. После первого действия остаётся 0, но в натуральных числах нельзя убрать из нуля ещё 3 и получить натуральное число. Если курс уже рассматривает отрицательные числа, этот результат записывают как −3.
Ответы 32 − 5 и 32 − 35 различаются не только величиной, но и смыслом. В первом случае из 32 убирают меньшую часть, поэтому остаётся натуральное число 27. Во втором требуется убрать больше, чем было, поэтому среди натуральных чисел подходящего результата нет. В расширенной числовой области получается −3: это число, которое при сложении с 35 даёт 32.
| Выражение | Разбор по десяткам и единицам | Результат | Проверка |
|---|---|---|---|
| 32 − 5 | 2 десятка 12 единиц; 20 + (12 − 5) | 27 | 27 + 5 = 32 |
| 32 − 35 | 32 − (32 + 3); в натуральных числах продолжить вычитание нельзя | В натуральных числах не существует; в целых числах −3 | −3 + 35 = 32 |
Сначала выбери строку с нужным выражением, затем проследи, как в ней представлены десятки и единицы. Для 32 − 35 учитывай, изучены ли уже отрицательные числа: без них ответ нельзя записать как натуральное число. Проверка показывает, что найденная разность вместе с вычитаемым возвращает уменьшаемое.
Сначала проверим, можно ли вычесть единицы напрямую: в уменьшаемом только 2 единицы, а убрать нужно 5. Значит, потребуется разменять десяток. После этого единиц хватит, а оставшиеся десятки можно сохранить.
Ответ: 27. Размен нужен потому, что единиц в исходной записи не хватало, а результат проверки совпал с уменьшаемым.
Представим оба числа по разрядам и проверим, нужен ли размен. В 47 есть 4 десятка и 7 единиц, а в 23 — 2 десятка и 3 единицы. Единиц и десятков хватает, поэтому каждый разряд можно вычесть отдельно.
Ответ: 24. Мы не смешивали разряды: десятки вычитали из десятков, а единицы — из единиц. Размен здесь не потребовался, потому что в каждом разряде уменьшаемого достаточно для вычитания.
Перед вычислением сравним числа: 35 больше 32, значит, нельзя получить натуральное число, которое при сложении с 35 даст 32. Разложение вычитаемого помогает увидеть, насколько оно больше уменьшаемого. Запись ответа зависит от того, включены ли отрицательные числа в изучаемую область.
Ответ: в натуральных числах разность не существует; в целых числах 32 − 35 = −3. Проверка сложением подтверждает результат, если отрицательные числа уже разрешено использовать.
Ошибка: вычесть 5 из 2 и получить неверный ответ. Так делают, потому что смотрят только на цифры единиц и забывают о десятках. Проверь себя: если единиц не хватает, сначала размени один десяток; затем прибавь вычитаемое к разности и сравни сумму с 32.
Ошибка: записать 12 единиц, но оставить 3 десятка. При размене один десяток уже превратился в 10 единиц, поэтому прежнее количество десятков сохранять нельзя. После размена в числе 32 остаются 2 десятка и 12 единиц. Проверь равенство: 30 + 2 и 20 + 12 оба дают 32.
Ошибка: в каждом разряде вычитать меньшую цифру из большей, не глядя на порядок чисел. Например, так можно ошибочно получить для 32 − 35 положительное число. Но вычитаемое нельзя менять местами с уменьшаемым: сначала проверь, какое из чисел больше. Затем используй проверку сложением; перестановка чисел изменит исходное выражение.
Ошибка: считать, что вычитание всегда даёт натуральное число. Это ожидание работает не для 32 − 35, где вычитаемое больше уменьшаемого, и приводит к попытке найти несуществующее натуральное число. Проверь условие: если вычитаемое больше, натурального результата нет. Отрицательное значение можно назвать только в том случае, если такие числа уже изучены.
Для этой темы нужно уметь раскладывать двузначные числа на десятки и единицы и знать состав числа 10, чтобы выполнять размен. Также пригодятся сложение и вычитание в пределах 100 и проверка вычитания сложением. Умение переходить через разряд готовит к более сложным вычислениям. Ситуация 32 − 35 подводит к отрицательным числам, если они предусмотрены дальнейшим курсом.
Почему в примере 32 − 5 нельзя просто вычесть 5 из 2?
Цифра 2 показывает, что в числе 32 есть только 2 единицы, а вычесть нужно 5. Поэтому сначала один десяток разменивают на 10 единиц, и тогда единиц становится достаточно.
Откуда в разборе 32 − 5 появляются 12 единиц?
Число 32 — это 3 десятка и 2 единицы. Один десяток равен 10 единицам, поэтому после размена к двум единицам добавляют десять и получают 12.
Почему после размена в числе остаётся 2 десятка?
До размена было 3 десятка, а один из них превратили в 10 единиц. Значит, остаются 2 десятка; число 32 при этом не меняется, меняется только его запись по разрядам.
Можно ли вычесть из 32 число 35?
В натуральных числах нельзя: вычитаемое 35 больше уменьшаемого 32, а натурального числа, которое при сложении с 35 даст 32, нет. Если уже изучены отрицательные числа, то 32 − 35 = −3.
Как проверить результат вычитания?
К разности прибавь вычитаемое: сумма должна быть равна уменьшаемому. Например, для 32 − 5 проверка выглядит так: 27 + 5 = 32.
Урок 13. Вычитание двузначных чисел: 32 - 5, 32 - 35
