Урок 15 — 16. Приемы устных вычислений

Определения и обозначения

Устные вычисления — это выполнение вычислений без письменного алгоритма, с опорой на свойства действий и удобные преобразования. Например, число можно представить в виде суммы частей и посчитать по шагам. Такой способ помогает быстрее находить ответ и замечать, почему он получился.

Удобное слагаемое — слагаемое, которое временно изменяют, чтобы получить круглое число, одновременно компенсируя изменение другим слагаемым. Например, 48 удобно увеличить до 50, если из второго слагаемого можно убрать 2. Приём нужен, чтобы заменить сложное сложение более простым, не меняя сумму.

Удобный множитель — множитель, на который легче умножать после разложения числа на подходящие части. Так, при умножении 125 на 32 можно представить 32 как 8 · 4. Это определение помогает выбирать порядок действий так, чтобы промежуточные результаты считать проще.

Распределительное свойство умножения позволяет умножить число на сумму или разность, умножив его на каждую часть отдельно: a · (b + c) = a · b + a · c. Например, произведение 6 · 23 можно заменить суммой 6 · 20 и 6 · 3. Свойство нужно, чтобы делить трудный пример на более простые вычисления.

Как это устроено

При сложении перестановка слагаемых помогает поставить рядом числа, которые удобно считать, а группировка — сначала объединить именно их. Например, в сумме 27 + 13 + 40 можно начать с 27 + 13: получится 40, а затем 40 + 40. Так поступают потому, что круглые десятки проще складывать: в них меньше разрядов, которые нужно удерживать в уме. Перестановка и группировка не меняют сумму, поэтому можно свободно выбирать удобный порядок.

При сложении компенсацией одно слагаемое увеличивают, а второе уменьшают на одинаковое число. Если к 48 прибавить 2, получится удобное 50; чтобы сохранить сумму, из второго слагаемого нужно убрать те же 2. Поэтому 48 + 37 превращается в 50 + 35. Причина такого преобразования проста: прибавка к одному числу полностью уравновешивается убавкой от другого.

Число, близкое к круглому, иногда проще вычесть через это круглое число. Если вычитаемое меньше круглого на несколько единиц, то при вычитании круглого мы убираем лишнее, поэтому эту разницу нужно вернуть сложением. Например, вместо вычитания 398 удобно вычесть 400, а затем прибавить 2. Если же вычитаемое больше круглого, после вычитания круглого нужно убрать недостающую часть: знак поправки зависит от сравнения чисел.

Распределительное свойство превращает умножение на сумму в сумму произведений. Если число умножают на каждое слагаемое, а затем складывают результаты, общий результат такой же, как при умножении на всю сумму. Это полезно, когда один из множителей легко представить, например, как десятки и единицы. Но нужно умножить на каждую часть: иначе часть исходного множителя не будет учтена.

Для конкретного примера можно придумать несколько преобразований, поэтому выбирают то, которое облегчает промежуточные вычисления. Сначала ищут близкое круглое число, удачную пару слагаемых или части множителя с простыми произведениями. Затем проверяют, что изменение компенсировано или применено свойство действия, а значит, значение выражения не изменилось. Если новый вариант считать не проще, чем исходный, лучше выбрать другой приём.

Устные приёмы вычислений

Сначала найди, какое свойство или преобразование подходит к примеру, а затем оцени, станут ли вычисления проще. Сравнивай не только первый шаг, но и то, насколько легко будет получить окончательный результат. После преобразования проверь, что исходное значение сохранено.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите устно: 48 + 37. Число 48 близко к круглому 50, и для перехода к нему не хватает 2. Возьмём эти 2 из второго слагаемого, чтобы сумма осталась прежней. Так вместо двух неудобных чисел появится круглое слагаемое.

1. Увеличим 48 на 2: получим 50.
2. Уменьшим 37 на те же 2: получим 35.
3. Сложим: 50 + 35 = 85.

Ответ: 85. Проверка: 48 + 37 можно посчитать и так: 48 + 30 = 78, 78 + 7 = 85. Оба способа дают один результат.

Задача 2. Вычислите устно: 1000 − 398. Число 398 всего на 2 меньше круглого числа 400. Если вычесть 400, мы уберём на 2 больше, чем требовалось, поэтому нужно вернуть эти 2 прибавлением. Такой ход мысли помогает не перепутать знак поправки.

1. Заменим вычитание: 1000 − 398 = 1000 − 400 + 2.
2. Вычтем круглое число: 1000 − 400 = 600.
3. Вернём лишние 2: 600 + 2 = 602.

Ответ: 602. Проверим обратным действием: 602 + 398 = 1000. Значит, при вычитании через 400 поправка выбрана верно.

Задача 3. Вычислите устно: 125 · 32. Можно было бы разложить 32 на 30 и 2, но тогда пришлось бы сложить два произведения. Вместо этого представим 32 как 8 · 4: умножение на 8 превращает 125 в тысячу. Остаётся выполнить простое умножение на 4.

1. Разложим множитель: 32 = 8 · 4.
2. Перегруппируем вычисление: 125 · 32 = 125 · 8 · 4.
3. Найдём удобное произведение: 125 · 8 = 1000.
4. Умножим результат на 4: 1000 · 4 = 4000.

Ответ: 4000. Смысл разложения в том, чтобы сначала получить круглую тысячу, а не выполнять более громоздкое умножение напрямую.

Типичные ошибки

При компенсации иногда увеличивают одно слагаемое и забывают уменьшить другое. Тогда сумма возрастает, хотя кажется, что изменилось лишь маленькое число. Ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на получении круглого десятка. Проверь себя: изменения должны быть противоположными и одинаковыми по величине, например +2 и −2.

При вычитании через круглое число поправку могут прибавить или вычесть не в ту сторону. Например, при замене 398 на 400 вычитается на 2 больше, поэтому эти 2 нужно прибавить к результату. Ошибка связана с тем, что знак поправки запоминают без сравнения чисел. Чтобы проверить себя, спроси: круглое число убрало больше или меньше, чем требовалось?

При умножении на сумму можно умножить число только на одно слагаемое. Например, запись 6 · (20 + 3) = 6 · 20 теряет часть произведения, связанную с числом 3. Так происходит, если раскрывают скобки по памяти, не прослеживая судьбу каждой части суммы. Проверь, что число умножено на каждое слагаемое и частичные произведения затем сложены.

Иногда выбирают преобразование, которое не упрощает вычисление, или незаметно меняет значение выражения. Причина — желание применить знакомый приём без проверки его уместности. Сравни, стали ли промежуточные действия проще, и проверь сохранение результата: при компенсации изменения должны уравновешиваться, а при умножении на сумму должны учитываться все части.

Связь с другими темами

Для этих приёмов нужны таблица сложения и умножения, умение разбирать многозначное число на разряды и знание свойств арифметических действий. Например, чтобы представить 32 как 30 + 2, нужно понимать разрядный состав числа, а для группировки слагаемых — знать, что слагаемые можно переставлять и объединять. Эти знания позволяют не считать каждый пример одинаково, а выбирать более короткий путь.

Устные приёмы пригодятся не только при вычислениях с целыми числами. Похожие идеи помогают работать с дробями и десятичными числами, когда нужно найти удобные части или выполнить действие в подходящем порядке. Они также полезны для проверки письменных вычислений: прикидка и другой способ счёта помогают заметить ошибку в результате.

Что запомнить

• При сложении можно переставлять и группировать слагаемые.
• Изменение одного слагаемого компенсируют противоположным изменением другого.
• Число, близкое к круглому, часто удобнее вычитать через круглое число.
• При умножении суммы на число учитывают каждое слагаемое.
• Множитель можно разложить на части, удобные для последовательного умножения.
• После преобразования значение выражения должно оставаться прежним.