"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Решение текстовой задачи — это путь от описанной словами ситуации к математической записи и обратно к ответу. Нужно определить, что известно и что требуется найти, увидеть связи между величинами, выбрать подходящую модель, а затем выполнить вычисления или решить уравнение. Главное — не выбирать действие по одному слову в условии: каждый шаг должен объясняться смыслом задачи, а результат необходимо проверить и записать с единицей измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью выражений, схемы, таблицы, рисунка или уравнения. Она помогает перейти от слов к вычислениям: вместо пересказа ситуации мы показываем, как связаны числа и величины. По модели легче увидеть, какое действие или рассуждение приведёт к ответу.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется найти. Её обычно обозначают буквой, например x, и поясняют, что именно означает эта буква: x — число карандашей во второй коробке. Рядом указывают единицу измерения, если она есть, чтобы не спутать, например, километры с часами.
Уравнение — равенство с неизвестным, составленное по условию задачи. Его корень — такое значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Решив уравнение, мы получаем значение величины, но затем всё равно должны проверить, подходит ли оно к ситуации.
Проверка решения — сопоставление найденного ответа с условием задачи. Нужно проверить не только вычисления, но и смысл результата: отвечает ли он на вопрос, может ли такая величина иметь найденное значение и верны ли единицы измерения. Проверка помогает заметить как арифметическую ошибку, так и неверно составленную модель.
Решение начинается с внимательного чтения, потому что похожие слова в разных задачах могут описывать разные отношения. Сначала найди вопрос и назови искомую величину, затем отметь известные числа и подпиши, к чему они относятся. Так становится ясно, каких данных достаточно и что именно предстоит связать. Если сразу начать вычислять, можно найти число, которое встречается в рассуждении, но не отвечает на вопрос.
Представить условие можно краткой записью, схемой, таблицей или рисунком — выбирай то, что помогает увидеть отношения величин. Схема особенно удобна, когда сравнивают две величины или показывают, из каких частей состоит целое. Таблица помогает сопоставить несколько наборов данных, а краткая запись экономит время, если связи уже понятны. Рисунок полезен, когда важны расположение, форма или последовательность; модель нужна не для украшения, а чтобы не потерять смысл условия.
Когда связь между величинами найдена, запиши её выражением или уравнением. Например, если во второй коробке на 5 карандашей больше, чем в первой, где 8 карандашей, количество во второй выражается как 8 + 5. Каждое действие в записи должно объясняться условием: сложение показывает увеличение на несколько единиц, а не просто выбранное слово «больше». Если величина неизвестна, её можно обозначить буквой и составить равенство по известным отношениям.
Дальше реши выбранную модель: вычисли выражение или найди корень уравнения. Полученное число пока является только предварительным результатом, поэтому сопоставь его с вопросом и единицами измерения. Если искали число предметов, ответ не может быть отрицательным или дробным, когда речь идёт о целых предметах; если искали время, результат должен быть выражен в единицах времени. Такая проверка допустимости помогает обнаружить ошибку даже при верных вычислениях.
Проверять полезно подстановкой найденного значения в модель или повторным рассуждением по условию. Например, можно восстановить известную сумму из найденных частей и убедиться, что она совпадает с данными задачи. Если проверка проходит, запиши ответ словами, указав искомую величину и единицу измерения. Тогда читателю ясно не только число, но и то, что именно найдено.
| Этап | Что сделать | Что должно получиться |
|---|---|---|
| Анализ условия | Выделить известные и неизвестные величины, установить связи | Понимание того, что требуется найти |
| Выбор модели | Представить отношения схемой, таблицей, выражением или уравнением | Математическая запись условия |
| Выполнение решения | Вычислить значение выражения или решить уравнение | Предварительный числовой результат |
| Проверка | Сверить результат с условием и смыслом величин | Подтверждённое решение |
| Ответ | Записать найденное значение с подходящей единицей | Ответ на вопрос задачи |
Используй таблицу как порядок действий, а не как набор обязательных отдельных записей: короткую задачу можно решить быстрее, сохраняя все этапы в рассуждении. Если на каком-то шаге непонятно, что делать дальше, вернись к условию и проверь, какую связь ещё нужно показать. Не переходи к ответу, пока не убедишься, что результат проверен.
В одной коробке 8 карандашей, а в другой — на 5 карандашей больше. Сколько карандашей во второй коробке? Слова «на 5 больше» означают сравнение количеств: во второй коробке столько же, сколько в первой, и ещё 5. Поэтому неизвестное количество можно найти одним действием сложения.
Ответ: во второй коробке 13 карандашей.
В двух коробках 34 карандаша. В первой на 6 карандашей больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке? Здесь нужно найти два количества, но одно удобно выразить через другое: если во второй коробке x карандашей, то в первой x + 6. Их сумма известна, поэтому составим уравнение.
Ответ: в первой коробке 20 карандашей, во второй — 14.
Велосипедист проехал 36 км за 2 часа, а затем ещё 45 км за 3 часа. Какова его средняя скорость за весь путь? Средняя скорость показывает, какой путь в среднем приходился на каждый час всего движения. Нельзя просто сложить скорости на участках и разделить на два: участки длились разное время, поэтому такое среднее не учитывает их продолжительность.
Ответ: средняя скорость велосипедиста за весь путь — 16,2 км/ч.
Ошибка — выбирать действие по отдельному слову «больше» или «осталось», не выяснив, какие величины сравниваются и что спрашивается. Её допускают, потому что запоминают словесные подсказки, но одно и то же слово может встречаться в разных связях. Проверь себя: назови искомую величину и объясни, что означает каждое действие. Если объяснение не связано с отношениями из условия, модель нужно пересмотреть.
Иногда неизвестную обозначают буквой без пояснения или смешивают саму величину с её числовым значением. Тогда при составлении уравнения легко перепутать, что означает x, или потерять единицы измерения. Сразу запиши, например: x — число карандашей во второй коробке. Перед решением проверь, что все введённые обозначения понятны и используются одинаково.
Неверное уравнение часто получается, когда части условия соединяют без проверки их смысла. Например, общую сумму нельзя записать как разность количеств, если задача говорит, что предметы находятся в двух коробках вместе. После составления уравнения объясни словами, что означает его левая и правая части. Если они не описывают одно и то же отношение из условия, равенство составлено неправильно.
Записывать только числовой результат без проверки опасно: он может не отвечать на вопрос или иметь неподходящую единицу. Так происходит, когда ученик заканчивает решение сразу после вычисления и не возвращается к условию. Проверь допустимость числа, подставь его в исходные отношения и сравни единицы измерения. В ответе обязательно назови найденную величину, а не оставляй одно число.
Для решения задач нужны умения выполнять действия с натуральными числами и величинами, а также понимать отношения «на несколько больше» и «в несколько раз больше». Эти знания помогают правильно переводить описание ситуации в выражения и уравнения. Если смысл сравнения пока неясен, вернись к примерам на сложение, вычитание, умножение и деление величин. Навык строить модели пригодится в задачах на движение, работу, проценты и зависимости между величинами.
С чего начать решение текстовой задачи?
Внимательно прочитай условие и вопрос, затем выпиши известные величины и определи, что требуется найти. После этого установи, как величины связаны между собой.
Когда условие удобнее записать схемой или таблицей?
Схема помогает наглядно показать части и целое, сравнение или порядок действий. Таблица удобна, если нужно сопоставить несколько величин, например расстояние, время и скорость.
Как понять, какое действие нужно выполнить?
Сначала выясни, какие величины связывает вопрос, а затем определи, как их найти. Выбранное действие должно соответствовать смыслу условия, а не только отдельным словам вроде «больше» или «осталось».
Зачем составлять уравнение, если можно рассуждать устно?
Уравнение помогает записать связи между величинами точно и коротко, особенно когда неизвестных отношений несколько. Решив его, можно найти неизвестную величину и проверить, удовлетворяет ли она условию.
Как проверить, что ответ действительно подходит?
Подставь найденное значение в условие или повтори рассуждение, используя его. Проверь также, отвечает ли результат на вопрос, допустим ли он по смыслу и указана ли правильная единица измерения.
Урок 17. Решение задач
