Урок 25. Решение задач

Определения и обозначения

Математическая модель — запись условия задачи с помощью чисел, выражений, уравнений или схем. Она отражает связи между величинами: например, что часть вместе с частью составляет целое. Модель нужна, чтобы перейти от слов к действиям, которые можно выполнить.

Краткая запись — компактное представление данных задачи и вопроса к ней. В ней удобно показать, какие величины известны, какие связаны между собой и что требуется найти. Такая запись помогает удержать главное и не спутать данные.

Уравнение — равенство с неизвестным, составленное по условию задачи. Неизвестное часто обозначают буквой, например x, и выражают через него другие величины. Корень уравнения должен соответствовать не только равенству, но и смыслу задачи.

Проверка решения — сопоставление найденного результата с исходным условием. Нужно убедиться, что вычисления верны, результат отвечает на вопрос и возможен в описанной ситуации. Одна только правильная арифметика не гарантирует, что задача решена верно.

Как это устроено

Решение начинается с внимательного чтения условия, потому что отдельные числа сами по себе ещё не подсказывают нужное действие. Сначала определи, что известно, что требуется найти и какие величины участвуют в задаче. Полезно обратить внимание на слова, показывающие отношения: «осталось», «всего», «на столько-то больше». Если неверно понять связь, можно составить ошибочную модель даже при безошибочных вычислениях.

Затем условие удобно представить краткой записью, схемой или таблицей. Это помогает упорядочить сведения: например, разнести данные по двум участкам пути или показать, из каких частей складывается целое. Форма зависит от содержания задачи, потому что универсальной записи для всех случаев нет. После представления проверь, что в нём сохранены и данные, и вопрос, и отношения между величинами.

На следующем шаге строят математическую модель, связывая известные значения с неизвестным. Если связь простая, можно записать выражение; если неизвестное входит в равенство, составляют уравнение. Например, слова «было, взяли, осталось» задают зависимость: было − взяли = осталось. Модель нужно сверить с условием, чтобы каждое действие и каждый знак соответствовали описанной ситуации.

Когда модель составлена, её решают подходящим способом: выполняют вычисления или находят корень уравнения. Действия стоит пояснять, чтобы было видно, какую величину даёт каждое число и почему выбран именно такой шаг. Если в задаче указаны единицы измерения, сохраняй их и следи, чтобы складывались или сравнивались величины одного рода. Это позволяет вовремя заметить несогласованность, например сложение километров и часов.

После решения проверь полученное значение по условию и оцени, правдоподобно ли оно. Подстановка найденного числа в исходную зависимость помогает обнаружить вычислительную ошибку, а оценка смысла — неподходящий результат вроде отрицательного времени. Затем сформулируй ответ словами и укажи нужные единицы. Так ответ будет относиться именно к вопросу задачи, а не к промежуточному вычислению.

Этапы решения текстовой задачи

Таблица помогает пройти задачу последовательно и не пропустить важный шаг. После каждого этапа задай себе контрольный вопрос из последнего столбца: если ответа нет, вернись к условию или записи. Не обязательно подробно оформлять каждый этап в тетради, но проверить их полезно всегда.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 18 карандашей. После того как несколько карандашей взяли, осталось 11. Сколько карандашей взяли? Здесь известны первоначальное и оставшееся количества, а неизвестно, сколько предметов убрали. Связь описывается правилом «было − взяли = осталось».

1. Обозначим количество взятых карандашей через x. Тогда по условию 18 − x = 11.
2. Чтобы узнать вычитаемое, найдём разность: x = 18 − 11 = 7.
3. Проверим: 18 − 7 = 11, значит, исходные данные выполняются.

Ответ: взяли 7 карандашей. Важно было найти именно количество взятых карандашей, а не повторить число оставшихся. Проверка показывает, что после действия действительно остаётся 11 предметов.

Задача 2. Периметр прямоугольника равен 34 см, его длина на 3 см больше ширины. Найдите стороны прямоугольника. Неизвестны обе стороны, но условие позволяет выразить длину через ширину. Обозначим ширину буквой x, тогда длина равна x + 3.

1. Периметр равен удвоенной сумме длины и ширины: 2(x + x + 3) = 34.
2. Разделим обе части на 2: 2x + 3 = 17. Тогда 2x = 14, откуда x = 7 см.
3. Длина равна 7 + 3 = 10 см. Проверим периметр: 2(7 + 10) = 34 см.

Ответ: ширина 7 см, длина 10 см. Уравнение учитывает одновременно и периметр, и разницу между сторонами. Проверка по периметру подтверждает найденные значения.

Задача 3. Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 12 км/ч, а затем ещё некоторое время со скоростью 10 км/ч. Всего он проехал 54 км. Сколько времени длилась вторая часть пути? Путь равен произведению скорости на время, поэтому сначала найдём расстояние на первом участке. Для второго участка обозначим время буквой x часов.

1. За первые 2 часа велосипедист проехал 12 · 2 = 24 км, а на втором участке — 10x км.
2. Сумма путей равна общему расстоянию: 24 + 10x = 54. Тогда 10x = 30 и x = 3.
3. Проверим: 24 км + 10 · 3 км = 54 км. Время положительное и соответствует вопросу.

Ответ: вторая часть пути длилась 3 часа. В модели сложены расстояния, а не скорости, потому что спрашивается общий путь. Проверка возвращает нас к указанным в условии 54 км.

Типичные ошибки

Если начать вычисления, не разобрав вопрос, легко найти промежуточную величину вместо требуемой. Так бывает, когда числа в условии кажутся знакомыми и хочется сразу выполнить действие. Перед расчётами подчеркни вопрос и назови искомую величину своими словами. После решения сверь ответ с этим вопросом.

Уравнение трудно составить и проверить, если не пояснить, что обозначает неизвестное. Ученик может выбрать букву, а затем перепутать, какая величина выражена через неё. Запиши рядом, например: «x — ширина прямоугольника в сантиметрах». Проверь, что выражения для остальных величин следуют из этого обозначения и слов условия.

Отношения «на ... больше», «в ... раз больше» и «осталось» означают разные связи, поэтому подмена одного отношения другим меняет модель. Ошибку допускают, когда ориентируются на отдельное слово, не выясняя, какие величины сравниваются. Перескажи условие обычными словами и проверь выбранное действие на простом числовом примере. Если смысл записи не совпадает с пересказом, модель нужно исправить.

Ответ без проверки или с неподходящими единицами может оказаться неверным, хотя вычисления выполнены правильно. Это случается, если забыть, о какой величине спрашивали, или не учесть единицы в условии. Подставь результат в исходную связь, оцени, возможен ли он, и запиши единицы измерения. Затем сформулируй ответ так, чтобы он прямо отвечал на вопрос.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки действий с натуральными числами, дробями и десятичными числами, а также соблюдение порядка действий. При составлении модели пригодятся буквенные выражения и уравнения: они помогают записывать словесные отношения коротко и точно. Умение переводить условие на математический язык понадобится при изучении пропорций, процентов, движения и зависимостей между величинами. Освоенный алгоритм можно применять в самых разных задачах, даже если меняются числа и сюжет.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• Отрази существенные связи условия в краткой записи, схеме или таблице.
• Обозначь неизвестное и поясни выбранное обозначение.
• Математическая модель должна точно соответствовать условию.
• Проверь вычисления и соответствие результата смыслу задачи.
• В ответе укажи именно то, о чём спрашивается.