Урок 24. Сравнение трёхзначных чисел

Определения и обозначения

Трёхзначное число — натуральное число, в записи которого три цифры. Например, 347 и 604 — трёхзначные числа. Наибольший разряд такого числа — разряд сотен. Это помогает понять, с какой позиции начинать сравнение.

Разряд сотен — позиция первой цифры трёхзначного числа. Она показывает, сколько сотен содержится в числе: в 347 это 3 сотни. Разряд сотен нужен, чтобы сначала сравнивать самые крупные части чисел. Если цифры сотен отличаются, остальные цифры уже не могут изменить результат сравнения.

Разряд десятков — позиция второй цифры числа. Она показывает число десятков в записи: у числа 347 на этом месте стоит 4. К десяткам переходят, когда цифры сотен у сравниваемых чисел одинаковы. Тогда именно разряд десятков помогает определить, какое число больше.

Разряд единиц — позиция третьей цифры числа. Она показывает число единиц: у числа 347 это 7 единиц. Единицы сравнивают последними, если цифры сотен и десятков совпали. Так можно различить числа, которые отличаются только последней цифрой.

Как это устроено

Цифры числа занимают разные позиции, и от позиции зависит их значение. В числе 347 цифра 3 обозначает 3 сотни, цифра 4 — 4 десятка, а цифра 7 — 7 единиц. Значит, число складывается из частей: 347 = 300 + 40 + 7. Такое разложение показывает, почему нельзя оценивать цифры отдельно от их разрядов.

Сравнивать начинают с сотен, потому что сотня больше любого количества десятков или единиц, которое может изменить результат внутри этого разряда. Например, 4 сотни уже больше 3 сотен, даже если у числа с тремя сотнями много десятков и единиц. Поэтому при разных цифрах сотен сравнение можно сразу завершить. Младшие разряды понадобятся только при равенстве старших.

Если цифры сотен одинаковы, сотенные части чисел равны и не дают ответа. Тогда сравнивают десятки: больше то число, у которого десятков больше. Если совпали и цифры десятков, равны также десятковые части, поэтому решение зависит от единиц. Это последовательное сравнение разрядов не позволяет пропустить часть, которая определяет разницу.

Разложение на сотни, десятки и единицы объясняет сравнение: сначала проверяют сотенные части, затем десятковые, затем единичные. Например, если сотни и десятки совпадают, остаётся сравнить только единицы. Результат записывают знаками «<», «>» или «=»: для чисел 604 и 609 верно 604 < 609. Знак читают слева направо, а его остриё обращено к меньшему числу.

Если цифры совпадают во всех трёх разрядах, сотенные, десятковые и единичные части тоже одинаковы. Значит, одинаков и весь состав чисел, поэтому они равны. Например, 428 = 428. Равенство записывают знаком «=», а не знаком «<» или «>».

Как сравнивать трёхзначные числа

Пользуйся таблицей сверху вниз: выбери ситуацию, которая подходит к двум числам. Останавливайся на первом разряде, в котором цифры различаются, — он определяет результат. Если различий нет, числа равны.

Разбор задач

Задача. Сравнить 428 и 391. Нужно выяснить, какое число больше, и записать результат подходящим знаком. Начнём с разряда сотен, потому что он старший.

1. Сравним цифры сотен: в числе 428 это 4, а в числе 391 — 3.
2. Так как 4 > 3, в 428 больше сотен. Десятки и единицы дальше сравнивать не нужно: они не изменят вывод.
3. Запишем числа в исходном порядке и поставим знак так, чтобы слева оказалось меньшее число: 428 > 391.

Ответ: 428 > 391. Мы остановились на сотнях, потому что они различались.

Задача. Сравнить 572 и 589. Здесь цифры сотен совпадают, поэтому сразу ответить нельзя. Последовательно проверим следующий разряд.

1. Сравним сотни: в обоих числах стоит цифра 5, значит, сотенные части равны.
2. Перейдём к десяткам: 7 меньше 8. Различие найдено в разряде десятков, поэтому цифры единиц не влияют на результат.
3. Число 572 меньше числа 589, значит, записываем 572 < 589.

Ответ: 572 < 589. Равенство сотен не означало равенства чисел: результат определили десятки.

Задача. Расположить 604, 640 и 609 в порядке возрастания. В таком порядке числа идут от меньшего к большему. Сравним их разряды и не забудем, что ноль занимает место десятков в числе 604.

1. У всех трёх чисел цифра сотен равна 6, поэтому по этому разряду они не различаются.
2. Сравним десятки: у 604 стоит 0, у 640 — 4, у 609 — 0. Поэтому 640 больше обоих чисел с нулём в разряде десятков.
3. Между 604 и 609 сотни и десятки совпадают. Сравним единицы: 4 меньше 9, значит, 604 < 609.

Ответ: 604 < 609 < 640. При совпадении первых двух разрядов порядок определили единицы.

Типичные ошибки

Одна ошибка — сравнивать числа как набор отдельных цифр, не учитывая их позиции. Так можно решить, что число с большой последней цифрой обязательно больше, хотя сотен в нём меньше. Ошибку допускают, когда забывают о разрядном значении цифр; проверь себя, назвав для каждой цифры её разряд.

Другая ошибка — переходить к десяткам, хотя цифры сотен уже различаются. Причина в том, что все цифры кажутся одинаково важными, но старший разряд первым определяет результат. Сверь первые цифры чисел: если они разные, сравни их и не учитывай младшие разряды.

Иногда сравнивают единицы, хотя цифры десятков уже различны. Это происходит, если взгляд сразу цепляется за последнюю цифру, но она важна только после совпадения сотен и десятков. Чтобы проверить себя, отмечай разряды по порядку и переходи к следующему лишь при равенстве предыдущего.

При записи результата знак могут повернуть остриём к большему числу. Это путает, потому что знак «<» напоминает раскрытый к меньшему числу угол, хотя его узкий конец и есть остриё. Прочитай запись словами: в 604 < 609 левое число меньше правого, а остриё направлено к 604.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно уметь читать трёхзначные числа и понимать их разрядный состав: сотни, десятки и единицы. Эти знания показывают, какое значение имеет цифра на каждой позиции. Если разряды пока путаются, разложи число на сотни, десятки и единицы, например 347 = 300 + 40 + 7. Так легче увидеть, что именно сравнивается.

Навык сравнения нужен, когда натуральные числа упорядочивают от меньшего к большему или наоборот. Он также помогает при округлении и выполнении арифметических действий: разрядный состав позволяет оценивать величины и проверять разумность результата. При этом сам порядок сравнения остаётся прежним — от старшего разряда к младшему. Поэтому понимание разрядов пригодится и в следующих темах.

Что запомнить

• Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц.
• При сравнении сначала рассматривают цифры сотен.
• Если сотни равны, сравнивают десятки.
• Если равны и сотни, и десятки, сравнивают единицы.
• Одинаковые цифры во всех разрядах означают равные числа.
• Знак «<» направлен остриём к меньшему числу.