"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Решение текстовой задачи — это переход от описанной словами ситуации к математическим действиям и обоснованному ответу. Чтобы не потерять смысл условия, сначала выясняют, что известно и что нужно найти, а затем показывают связи между величинами краткой записью, схемой, выражением или уравнением. Вычисления выполняют по плану, проверяют по условию и записывают результат с подходящими единицами измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью чисел, выражений, схемы или уравнения. Она заменяет длинное описание более наглядной записью, в которой видны связи между данными. Благодаря модели проще выбрать действия и не потерять смысл задачи при вычислениях.
Величина — то, что характеризуется числом и единицей измерения, например длина в метрах или цена в рублях. Число без единицы не всегда сообщает, что именно измерено: 4 км и 4 ч — разные величины. Различать их нужно, чтобы не складывать несопоставимые данные и верно истолковать результат.
Уравнение — равенство с неизвестным, значение которого требуется найти. Его составляют по условию: неизвестное обозначают буквой, а описанную связь записывают равенством. Полученный корень — найденное значение неизвестного; прежде чем назвать его ответом, нужно проверить, что он подходит ситуации и отвечает на вопрос.
Проверка решения — сопоставление результата с исходным условием задачи. Для неё можно подставить найденное число в модель, восстановить ход рассуждений или оценить, разумен ли результат. Проверка помогает обнаружить ошибку, а запись ответа с пояснением и единицей измерения показывает, какая величина найдена.
Решение начинается с внимательного чтения условия, потому что отдельное число само по себе ещё не подсказывает действие. Нужно выяснить, какие данные известны, что требуется найти и какие отношения между данными названы: сравнение, сумма, остаток или изменение. Полезно отдельно сформулировать вопрос задачи своими словами. Так проще заметить, не подменяется ли главный вопрос промежуточным.
Связи между величинами можно показать краткой записью или схемой. Краткая запись сохраняет нужные числа и подписи, а схема делает отношения наглядными: например, видно, какая величина больше или как меняется расстояние. Это помогает определить, каких данных не хватает для ответа. Если нужное неизвестно сразу, схема может подсказать промежуточный шаг.
Модель составляют именно из условия, а не выбирают действие только по отдельному слову. Выражение записывает вычисление для известной величины, а уравнение связывает известное и неизвестное равенством. Например, фраза «на несколько больше» означает прибавление указанного числа, а не умножение. Перед вычислением полезно проговорить, что означает каждый член выражения или уравнения.
План решения строят по зависимостям между данными. Если для ответа сначала нужно узнать промежуточное значение, его находят первым; затем используют его, чтобы ответить на главный вопрос. При необходимости неизвестное обозначают буквой и составляют уравнение. Такой порядок предотвращает случайные вычисления и помогает объяснить, почему каждое действие нужно.
После вычислений результат возвращают в условие и проверяют, отвечает ли он поставленному вопросу. Можно проверить арифметику обратным действием и оценить правдоподобие числа: например, время встречи не должно быть отрицательным. Затем записывают ответ словами с наименованием величины и единицей измерения. Это отделяет найденное число от промежуточных результатов.
| Способ | Что показывает | Когда полезен | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Краткая запись | Известные и неизвестные величины, их подписи | Когда в условии много чисел или данных | Все ли числа и единицы записаны верно |
| Схема или рисунок | Связи и сравнение между величинами | Когда отношения проще увидеть наглядно | Соответствуют ли части и подписи условию |
| Выражение или уравнение | Действия или равенство, связывающее данные | Для вычисления величины или поиска неизвестного | Имеет ли каждая часть записи смысл по условию |
| Проверка по условию | Подходит ли полученное значение исходной ситуации | После вычислений и решения уравнения | Выполняются ли условия и разумен ли результат |
| Ответ с единицами измерения | Что именно найдено и в каких единицах | При окончательной записи результата | Отвечает ли запись на вопрос задачи |
Выбери способ, который лучше показывает отношения именно в этой задаче: иногда достаточно краткой записи, а иногда схема помогает увидеть ход решения. Уравнение удобно, когда нужно найти неизвестное, связанное с данными равенством. В конце сверь ответ с условием и вопросом.
Задача. В одной коробке 8 карандашей, а в другой на 5 карандашей больше. Сколько карандашей в двух коробках? Сначала нужно найти количество во второй коробке, потому что оно не дано прямо. Затем можно сложить оба количества и ответить на вопрос о двух коробках.
Ответ: 21 карандаш.
Задача. Для экскурсии купили 4 билета по 350 рублей и ещё один билет. За все билеты заплатили 1850 рублей. Сколько стоит последний билет? Неизвестна цена одного билета, поэтому сначала найдём общую стоимость четырёх одинаковых билетов, а затем отделим её от всей суммы.
Ответ: последний билет стоит 450 рублей.
Задача. Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости — 4 км/ч и 5 км/ч, расстояние между пунктами — 27 км. Через сколько часов они встретятся? За каждый час расстояние между ними уменьшается на общий путь, который они проходят навстречу друг другу.
Ответ: через 3 часа.
Если начать вычисления, не выяснив, что именно требуется найти, легко остановиться на промежуточном результате. Так бывает, когда первое найденное число принимают за ответ, хотя вопрос требует ещё одного действия. Сначала подчеркни вопрос задачи и после каждого шага проверяй, приблизил ли он к ответу. В конце сравни формулировку ответа с вопросом.
Можно перепутать, к какой величине относится число или единица измерения: например, принять часы за километры либо цену за количество предметов. Этому способствует краткая запись без подписей. Подписывай каждое данное и неизвестное, а при сложении или сравнении убеждайся, что речь идёт о сопоставимых величинах. Сверь записи с текстом условия.
Уравнение может быть вычислено верно, но не описывать ситуацию. Например, при условии «на 5 больше» вместо прибавления ошибочно записывают умножение. Ошибка возникает, если выбирать действие по одному слову, не объясняя смысл записи. Прочитай уравнение вслух и проверь, соответствует ли каждая его часть отношениям из условия.
Запись одного числа без проверки и пояснения не показывает, подходит ли оно задаче и что найдено. Иногда результат не отвечает на вопрос, а иногда ему недостаёт единицы измерения. Подставь значение обратно в условие, оцени его разумность и оформи ответ словами. Укажи нужную единицу: так итог будет понятен без догадок.
Для решения задач нужны навыки арифметических действий, умение находить неизвестное в простых уравнениях и знание величин с единицами измерения. Эти знания позволяют не только выполнить вычисления, но и верно истолковать числа в условии. Представление текста в виде модели затем используется в задачах на движение, покупки и совместную работу. Оно также подготавливает к изучению алгебры, где связи между величинами записывают с помощью выражений и уравнений.
С чего начать решение текстовой задачи?
Прочитай условие и определи, что известно, что нужно найти и как связаны данные величины. Если связи трудно увидеть, сделай краткую запись или схему.
Когда удобнее использовать схему, а когда уравнение?
Схема удобна, когда нужно наглядно сравнить величины или показать порядок действий. Уравнение полезно, если в задаче есть неизвестное число и связь между величинами можно записать равенством.
Как понять, что уравнение составлено правильно?
Проверь, соответствует ли каждая часть уравнения условию: что именно обозначает неизвестное и какие величины складываются, вычитаются или сравниваются. Подставь найденное значение и убедись, что равенство и смысл задачи верны.
Зачем проверять ответ, если вычисления выполнены верно?
Даже безошибочные вычисления могут быть сделаны не по тому плану или отвечать не на главный вопрос задачи. Проверка показывает, подходит ли результат исходным данным и разумен ли он.
Нужно ли записывать единицы измерения в ответе?
Да, если задача спрашивает о величине, укажи её единицу: например, рубли, километры или часы. Одно число без наименования может не объяснить, что именно найдено.
Урок 39. Решение задач
