Урок 38. Программа действий. Алгоритм

Определения и обозначения

Программа действий — упорядоченный список шагов, который приводит к решению задачи или выполнению вычисления. Слова «упорядоченный список» означают, что шаги нельзя переставлять произвольно. Такая запись помогает видеть, что уже сделано и что нужно выполнить дальше.

Алгоритм — точное и понятное описание последовательности действий для достижения цели. Он нужен, чтобы путь к результату был ясен заранее, а не придумывался заново после каждого шага. Алгоритмом может быть порядок вычислений, инструкция или план решения задачи.

Исполнитель — человек или устройство, которое выполняет команды программы. Например, исполнителем может быть ученик, считающий выражение, или компьютер, обрабатывающий данные. Учитывать исполнителя нужно потому, что он способен выполнить не любые действия, а только те, которые ему доступны и понятны.

Команда — указание исполнителю выполнить определённое действие. Команда должна сообщать, что именно требуется сделать, а не оставлять выбор на усмотрение исполнителя. Если команды точны, программу можно выполнить без догадок и проверить её результат.

Как это устроено

Сложное вычисление удобно разбивать на последовательные шаги. После каждого действия получается промежуточный результат — число, которое используют в следующем шаге. Такой способ помогает не держать всё выражение в уме и быстрее заметить, на каком этапе появилась ошибка. Поэтому программу вычисления записывают в том порядке, в котором действительно выполняются действия.

Порядок действий установлен не случайно: он позволяет всем получать один и тот же результат для одинаковой записи. Сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание, поэтому выражение 18 − 6 : 2 читается не как последовательность команд слева направо. Деление здесь связывает числа 6 и 2 раньше, чем результат участвует в вычитании. Если действия относятся к одной ступени, например сложение и вычитание, их выполняют слева направо.

Скобки выделяют часть выражения, которую требуется обработать прежде остальных действий. Без скобок сначала пришлось бы соблюдать обычный приоритет, а с ними порядок становится другим: в записи (18 − 6) : 2 сначала находят разность. Это правило действует и тогда, когда внутри скобок стоят сложение или вычитание, которые обычно выполняются позже умножения и деления. Если скобок несколько, начинают с внутренних и постепенно переходят к внешним.

Алгоритм должен быть достаточно точным, потому что исполнитель не должен угадывать смысл шага. Например, команда «сделай вычисление» не сообщает, какое действие выполнить первым, а команда «найди сумму чисел 4 и 2» задаёт конкретную операцию. При составлении алгоритма нужно также помнить о возможностях исполнителя: устройство не сможет выполнить команду, для которой у него нет нужных данных или средств. Чем точнее инструкция, тем надёжнее её выполнение.

Проверка программы нужна, чтобы убедиться не только в ответе, но и в правильности пути к нему. Для этого выполняют каждый шаг отдельно и сравнивают результат с тем, что должно получиться из исходного выражения или условия. Если промежуточное число не соответствует выполненному действию, ошибку проще обнаружить сразу, а не в конце. Проверка особенно полезна в длинных вычислениях, где один неверный шаг меняет все последующие результаты.

Порядок действий при вычислении выражений

Сначала определи, есть ли в выражении скобки, и вычисли их содержимое. Затем найди действия с более высоким приоритетом, не забывая выполнять равноправные действия слева направо. По таблице удобно не только выбрать первое действие, но и составить весь план вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Вычисли 18 − 6 : 2. В записи есть вычитание и деление, поэтому нельзя сразу выполнять действия слева направо. Деление имеет более высокий приоритет, и только после него можно вычитать полученный результат. Запишем программу и проверим, как каждый шаг меняет выражение.

1. Выполним деление: 6 : 2 = 3. Получим выражение 18 − 3.
2. Выполним вычитание: 18 − 3 = 15.

Ответ: 15. Порядок действий выбран по правилам: деление выполнено раньше вычитания. Если бы сначала вычли 18 − 6, получилось бы другое выражение и неверный результат.

Задача 2. Вычисли (18 − 6) : 2 + 5. Скобки сразу показывают, какую часть нужно вычислить первой. После этого останутся деление и сложение, поэтому нужно будет учесть их разный приоритет. Промежуточные результаты удобно подставлять в исходную запись по очереди.

1. Вычислим выражение в скобках: 18 − 6 = 12. Теперь имеем 12 : 2 + 5.
2. Выполним деление раньше сложения: 12 : 2 = 6. Получим 6 + 5.
3. Сложим числа: 6 + 5 = 11.

Ответ: 11. Скобки привели к тому, что вычитание стало первым действием. Затем деление выполнили раньше сложения, как требуют правила.

Задача 3. Составь программу действий и вычисли 36 : (4 + 2) · 3 − 7. Здесь сначала нужно вычислить скобки. После этого деление и умножение будут иметь одинаковый приоритет, значит, их выполняют слева направо; вычитание останется последним. Запишем не только ответ, но и нумерованные команды для исполнителя.

1. Выполнить действие в скобках: 4 + 2 = 6. Получится 36 : 6 · 3 − 7.
2. Выполнить деление слева направо: 36 : 6 = 6. Получится 6 · 3 − 7.
3. Выполнить умножение: 6 · 3 = 18. Получится 18 − 7.
4. Выполнить вычитание: 18 − 7 = 11.

Ответ: 11. Порядок команд учитывает скобки и то, что деление с умножением выполняются слева направо. Такая запись однозначна: исполнитель знает, какое действие делать на каждом этапе.

Типичные ошибки

Считать строго слева направо. Так путают порядок записи чисел и знаков с правилами вычислений, где у операций разный приоритет. Например, в выражении 18 − 6 : 2 первым будет деление, а не вычитание. Проверь себя: отметь тип каждого действия и сравни его приоритет с соседними.

Сначала складывать или вычитать, а потом умножать или делить. Ошибка возникает, если ученик забывает, что умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания. В результате меняется смысл выражения и ответ. Для проверки выпиши действия по группам: сначала скобки, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание.

Игнорировать скобки. Иногда начинают с действия, которое кажется более простым, хотя скобки требуют сначала вычислить выделенную часть. Это нарушает заданный в выражении порядок и приводит к неверному промежуточному результату. Проверь себя: до вычислений найди все скобки и отметь действие, которое нужно выполнить внутри них первым.

Записывать программу слишком кратко или двусмысленно. Такое случается, когда автор считает, что исполнитель сам догадается, какое действие имеется в виду. Но алгоритм должен работать без догадок, иначе его нельзя надёжно выполнить или проверить. Перечитай команды как исполнитель: у каждой должны быть ясные данные и конкретное действие.

Связь с другими темами

До изучения программы действий нужно уметь выполнять арифметические действия и знать порядок вычислений в выражениях. Особенно важно понимать, как работают скобки: они выделяют часть записи, которую вычисляют первой. Эти знания позволяют записывать вычисление не только как выражение, но и как последовательность команд.

Программы действий помогают решать текстовые задачи: условие можно разложить на шаги и последовательно получить ответ. Они также пригодятся при вычислении длинных выражений, где важно следить за промежуточными результатами. Позже понятие алгоритма станет основой для изучения программирования, в котором команды выполняет устройство.

Что запомнить

• Алгоритм — точная последовательность действий для достижения цели.
• Исполнитель выполняет команды, которые ему доступны и понятны.
• В выражении сначала выполняют действия в скобках.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одного уровня выполняют слева направо.
• Каждый шаг программы должен быть определённым и выполнимым.