Урок 37. Прямая. Луч. Отрезок

Определения и обозначения

Прямая — бесконечная линия без начала и конца. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек на ней: прямая AB. Две буквы помогают указать, какую именно прямую имеем в виду, а не ограничивают её этими точками.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца в направлении движения: он продолжается бесконечно в одну сторону. Луч обозначают двумя буквами, например AB: первая буква A указывает начало, а B показывает направление. Такое обозначение позволяет отличить луч AB от луча BA.

Отрезок — часть прямой между двумя точками, включая сами точки. Его обозначают буквами концов, например отрезок AB; обе буквы здесь называют границы части прямой. В отличие от прямой и луча, отрезок не продолжается за свои концы, поэтому его можно измерить.

Как это устроено

Две различные точки задают единственную прямую: обе должны лежать на ней, и через них нельзя провести другую прямую. Это свойство позволяет точно обозначить и построить прямую по двум точкам. Через одну точку, напротив, можно провести много прямых, потому что они могут проходить через неё под разными углами.

Если отметить точку на прямой, она разделит линию на две части. Каждая часть с этой точкой становится лучом, а отмеченная точка — общим началом обоих лучей. Они направлены в противоположные стороны и вместе продолжают прямую без разрыва, поэтому такие лучи называют противоположными.

Две точки прямой выделяют часть между ними — отрезок, а также два луча, начинающихся в этих точках и направленных друг к другу через вторую точку. Отрезок ограничен выбранными точками и содержит все точки между ними. Лучи же продолжаются дальше без конца, поэтому даже если на чертеже их нарисовали коротко, считать их конечными нельзя.

Точки на чертеже отмечают небольшими штрихами или точками и называют заглавными латинскими буквами, например A и B. Прямую показывают линией, которая выходит за отмеченные точки, отрезок — частью линии между концами, а луч — частью линии с отмеченным началом и продолжением в одну сторону. В обозначении луча первой ставят букву его начала: если поменять буквы местами, получится другой луч.

Точка относительно отрезка может быть его концом, лежать между концами или находиться вне него. Например, если B лежит между A и C, то B принадлежит отрезку AC, хотя не является его концом. Если точка находится за A или C на той же прямой, она не входит в отрезок AC, потому что отрезок заканчивается в A и C.

Сравнение прямой, луча и отрезка

Сначала посмотри, сколько точек ограничивает изображённую часть, а затем проверь, куда она продолжается. Для луча дополнительно установи его начало: буквы в его обозначении нельзя переставлять без изменения смысла.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назови прямую, проходящую через них, и изобрази её обозначение.

1. Через две различные точки A и B проходит ровно одна прямая, поэтому других вариантов здесь нет.
2. Назовём её прямой AB. Поскольку прямая бесконечна, нужно мысленно продолжить линию за обе точки, а не считать A и B её концами.
3. Обозначение можно записать словами «прямая AB» или показать строчной буквой a, если этой буквой прямая названа на чертеже.

Ответ: прямая AB (или прямая a, если она обозначена буквой a); она продолжается по обе стороны от A и B.

Задача 2. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Назови лучи с началом B и укажи, какие из них противоположны.

1. Начало луча задано условием: это точка B. Значит, именно B должна стоять первой в обозначениях обоих лучей.
2. Из B можно направиться к A или к C. Поэтому получаем лучи BA и BC; их направления противоположны, так как точки A и C лежат по разные стороны от B.
3. Оба луча лежат на одной прямой и имеют общее начало B. Это и есть признаки противоположных лучей.

Ответ: лучи BA и BC; они противоположны.

Задача 3. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B лежит между A и C. Перечисли отрезки с концами в этих точках и определи, какие отрезки составляют отрезок AC.

1. Отрезок задаётся парой концов. Из трёх точек можно выбрать пары AB, BC и AC, значит, это все отрезки с концами в отмеченных точках.
2. Так как B находится между A и C, отрезок AB идёт от A до B, а BC — от B до C. Они соединяются в B и не выходят за границы AC.
3. Вместе AB и BC составляют весь отрезок AC. Точка B принадлежит AC, хотя и не является его концом.

Ответ: AB, BC и AC; отрезок AC составляют отрезки AB и BC.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что прямая заканчивается в отмеченных на чертеже точках. Так кажется, потому что на листе показан только небольшой участок линии. Проверь себя: прямая обозначена или описана как бесконечная, а точки лишь задают её положение; изображение можно мысленно продолжить в обе стороны.

Ошибка — поменять буквы в обозначении луча или принять направление за начало. Это происходит, когда обе буквы воспринимают как равноправные названия точек. Чтобы проверить себя, найди отмеченное начало и поставь его букву первой: луч AB начинается в A, а луч BA — в B.

Ошибка — считать отрезок прямой или лучом, у которого просто не нарисовано продолжение. На чертеже все три объекта могут выглядеть как части линии. Проверь, ограничена ли часть двумя концами: у отрезка они есть всегда, и линия за них в его состав не входит.

Ошибка — исключить из отрезка точку, лежащую между его концами. Можно ошибочно решить, что принадлежат только обозначенные концы. Проведи мысленно прямую между концами: все точки на этом участке, включая концы, принадлежат отрезку.

Связь с другими темами

Для изучения прямых, лучей и отрезков нужно знать, что такое точка и как обозначать её заглавной латинской буквой. На чертеже точками задают начало луча, концы отрезка и прямую через две точки. Эти понятия понадобятся при изучении углов: их стороны являются лучами, а вершина — общей точкой.

Отрезки важны при измерении длины и построении геометрических фигур, границы которых состоят из отрезков. Положение точки относительно отрезка помогает разбирать задачи на взаимное расположение точек и частей фигур. Различая бесконечные и ограниченные объекты, легче правильно читать геометрические чертежи.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Луч имеет начало и продолжается бесконечно в одном направлении.
• Первой буквой в обозначении луча называют его начало.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Точка между концами отрезка принадлежит этому отрезку.