Урок 36. Обратные операции

Определения и обозначения

Обратные операции — действия, одно из которых отменяет результат другого, если использовать те же числа в подходящем порядке. Например, прибавление числа изменяет исходное число, а последующее вычитание этого же числа возвращает его. Это понятие нужно, чтобы восстанавливать исходное значение и выбирать способ проверки.

Сложение и вычитание — взаимно обратные операции: вычитание позволяет найти слагаемое, если известны сумма и другое слагаемое. Например, если к числу прибавили 5 и получили 12, неизвестное число равно 12 − 5. Эта связь помогает находить неизвестный компонент сложения и проверять результат.

Умножение и деление — взаимно обратные операции: делением можно восстановить множитель по произведению и другому множителю. Если число умножили на 4 и получили 20, неизвестное число находят как 20 : 4. Такая связь нужна для решения уравнений с умножением, но делить на ноль нельзя.

Проверка обратным действием — способ убедиться, что вычисление или решение уравнения верно, выполнив действие, обратное исходному. Если результат сложения после вычитания известного слагаемого возвращает второе, вычисление подтверждается. Проверка обнаруживает ошибки и показывает, что найденное число подходит к исходному равенству.

Как это устроено

Представим, что число 9 увеличили на 4: получили 13. Если теперь из 13 вычесть те же 4, получится 9 — исходное число. Причина в том, что вычитание убирает именно то изменение, которое внесло сложение. Если же после прибавления вычесть другое число, исходное значение обычно не восстановится.

Пусть a + b = c: число a увеличили на b и получили c. Чтобы вернуть a, из c нужно убрать прибавленное b, поэтому c − b = a; чтобы вернуть b, из c вычитают a, и c − a = b. Так из одного равенства сложения получаются два равенства вычитания. Порядок важен: из суммы вычитают известное слагаемое, а не наоборот.

Если a · b = c, число a взяли b раз, и результатом стало c. Чтобы восстановить a, произведение делят на b: c : b = a; чтобы найти b, делят c на a: c : a = b. Делитель не может быть равен нулю: умножение любого числа на ноль даёт только ноль, поэтому деление не определяет единственный ответ. Следовательно, формулы деления применяют только при ненулевом делителе.

Неизвестный компонент находят, выяснив, какое действие связывает его с известными числами. Если неизвестно слагаемое, сумма состоит из известного и неизвестного слагаемых, поэтому известное вычитают из суммы. Если неизвестен множитель, произведение получено умножением, значит, его делят на известный множитель. Такой выбор опирается на связь компонентов, а не на внешнее сходство чисел.

После вычисления найденное число подставляют вместо неизвестного в исходное равенство. Затем проверяют, совпадают ли левая и правая части; дополнительно можно применить обратное действие, чтобы восстановить неизвестный компонент. Например, для x + 6 = 15 число 9 подходит, потому что 9 + 6 = 15, а 15 − 6 = 9. Одна только повторная запись ответа без проверки равенства не подтверждает решение.

Взаимно обратные операции

Сначала найдите в таблице исходное действие, затем посмотрите, какое действие его отменяет. Последний столбец показывает, как проверить результат. При делении убедитесь, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 46 + 28 и проверьте результат обратной операцией.

1. Складываем десятки и единицы: 46 + 28 = 74.
2. Чтобы проверить сумму, вычтем из неё одно из слагаемых: 74 − 28 = 46.
3. Получили другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно.

Ответ: 74.

Задача 2. Найдите неизвестное слагаемое в равенстве x + 37 = 82 и выполните проверку.

1. В равенстве известны сумма 82 и одно слагаемое 37. Неизвестное слагаемое найдём вычитанием: x = 82 − 37.
2. Выполним вычитание: x = 45.
3. Подставим число в исходное равенство: 45 + 37 = 82. Равенство верно; обратная проверка также даёт 82 − 37 = 45.

Ответ: x = 45.

Задача 3. Найдите неизвестный множитель в равенстве 24 · x = 168 и докажите правильность решения.

1. Произведение 168 образовалось при умножении 24 на неизвестное число. Чтобы восстановить множитель, разделим произведение на известный множитель: x = 168 : 24.
2. Выполним деление: x = 7.
3. Проверим подстановкой: 24 · 7 = 168. Произведение совпало с числом в исходном равенстве, поэтому значение найдено верно.

Ответ: x = 7.

Типичные ошибки

Иногда при поиске первого слагаемого из суммы вычитают его самого, а не второе слагаемое. Так происходит, если не следить за тем, какой компонент восстанавливается. Проверьте формулу: из суммы вычитают известное слагаемое, а найденное число при сложении с ним должно дать исходную сумму.

При поиске неизвестного множителя можно по ошибке разделить известный множитель на произведение. Это неверно, потому что произведение — результат умножения, и именно его нужно распределить на известный множитель. Проверьте себя умножением найденного числа на известный множитель: должно получиться исходное произведение.

Другая ошибка — выбирать действие, не выяснив, какой компонент неизвестен. Например, неизвестное слагаемое находят вычитанием, а не повторным сложением, потому что оно входит в сумму вместе с известным слагаемым. Сначала назовите известные компоненты и результат, затем установите связь между ними и проверьте ответ подстановкой.

Нельзя делить на ноль, а проверку нельзя считать выполненной, если исходное равенство не подтвердилось. Эти ошибки возникают при механическом применении правила или при повторении вычисления без проверки смысла результата. Убедитесь, что делитель ненулевой, подставьте ответ в исходное равенство и проверьте, что обе его части равны.

Связь с другими темами

Для работы с обратными операциями нужно знать названия компонентов действий: слагаемых и суммы, уменьшаемого, вычитаемого и разности, множителей и произведения, делимого, делителя и частного. Нужно также уметь выполнять сами арифметические действия. Эти знания помогают понять, какое число требуется найти и как связаны известные данные.

Обратные операции используют при решении уравнений: они помогают выразить неизвестное через известный результат и компоненты. Ими проверяют вычисления и найденные значения, а также преобразуют выражения, когда нужно восстановить исходное число или компонент. Поэтому понимание этой связи пригодится и в дальнейших темах математики.

Что запомнить

• Сложение и вычитание взаимно обратны.
• Умножение и деление взаимно обратны, если делитель не равен нулю.
• Неизвестное слагаемое находят вычитанием.
• Неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель.
• Обратное действие помогает проверить вычисление.
• Найденное значение нужно подставить в исходное равенство.