"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Математическая операция — правило, которое связывает исходные объекты с результатом. В арифметике такими объектами обычно служат числа, а действиями — сложение, вычитание, умножение и деление. Понимание операций помогает не только вычислять, но и читать выражения: видеть, какие числа участвуют в действии, что именно нужно сделать и допустимо ли это. Особенно важно учитывать порядок чисел при вычитании и делении, а также скобки и порядок действий.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая операция — правило, по которому одному или нескольким исходным объектам ставится в соответствие результат. Проще говоря, операция показывает, как преобразовать заданные числа или другие объекты. Это понятие нужно, чтобы описывать не только готовые вычисления, но и сам способ получения ответа.
Операнд — объект, к которому применяется операция; в записи 7 + 5 операндами являются 7 и 5. Операнды можно представить как числа, с которыми предстоит выполнить действие. По ним понятно, какие исходные данные участвуют в вычислении.
Знак операции — символ, обозначающий действие, например +, −, · или :; важно различать знак действия и знак числа. Например, в 8 − 3 знак − показывает вычитание, а в −3 он указывает, что число отрицательное. Это различие помогает правильно прочитать запись и не спутать действие с числом.
Результат операции — объект, полученный после выполнения действия; например, в записи 7 + 5 = 12 результатом является 12. Иными словами, результат — то, что получилось при применении правила к операндам. Он позволяет проверить, к какому значению приводит выражение.
Операция задаётся правилом: сначала определяют исходные объекты, затем применяют правило и получают результат. Например, при сложении исходными объектами являются два числа, а правило состоит в нахождении их суммы. Такой порядок нужен, чтобы понимать, откуда взялся ответ, а не просто запоминать отдельные вычисления. Если правило не задано, одни и те же исходные данные могут быть обработаны по-разному.
В записи операции порядок действий и расположение операндов помогают понять, что именно требуется сделать; например, вычитание и деление зависят от порядка чисел. В выражениях 18 − 7 и 7 − 18 участвуют те же числа, но первое показывает, на сколько 18 больше 7, а второе — на сколько 7 меньше 18. При делении перестановка чисел тоже меняет результат: 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. Поэтому перед вычислением нужно прочитать запись целиком, не меняя местами её части.
Чтобы вычислить значение выражения, нужно применить правила операций к его частям, учитывая скобки и порядок действий. Скобки выделяют часть выражения, которую следует выполнить раньше остальных действий. Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Этот порядок нужен, чтобы все получили одно и то же значение выражения, а не зависели от произвольного выбора очередного действия.
Не всякая операция применима к любым объектам: например, деление на ноль не определено, поэтому допустимость действия проверяют до вычисления. Если попытаться найти 6 : 0, пришлось бы подобрать число, которое при умножении на 0 даёт 6. Но произведение любого числа на 0 равно 0, поэтому такого числа нет. Проверка допустимости помогает не записывать выражение, для которого результат не существует.
Одни и те же числа могут участвовать в разных операциях, но результат определяется выбранным правилом: 3 + 4 и 3 · 4 дают разные результаты. В первом выражении нужно найти сумму, а во втором — произведение. Значит, одних исходных чисел недостаточно, чтобы определить ответ: нужно учитывать и знак операции. Именно поэтому запись выражения содержит и операнды, и обозначение действия.
| Операция | Обозначение | Что выполняется | Пример | Ограничение или особенность |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | + | Числа объединяют, находят сумму | 3 + 4 = 7 | Перестановка слагаемых не меняет сумму |
| Вычитание | − | Из первого числа вычитают второе | 9 − 5 = 4 | Порядок чисел важен |
| Умножение | · | Находят произведение чисел | 3 · 4 = 12 | Перестановка множителей не меняет произведение |
| Деление | : | Первое число делят на второе | 12 : 3 = 4 | Делить на ноль нельзя; порядок чисел важен |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала найди знак операции, а затем определи, какие числа являются операндами. Особенность в последнем столбце подсказывает, что нужно проверить перед вычислением. В частности, при делении убедись, что делитель не равен нулю.
Задача 1. Вычисли 8 + 6 и назови операнды и результат. Здесь знак + показывает сложение, поэтому нужно найти сумму двух чисел. После вычисления отдельно укажем, какие части записи были исходными данными, а какая получилась в итоге.
Ответ: 14; операнды — 8 и 6, результат — 14. Такой разбор помогает не путать числа, над которыми выполняют действие, с полученным ответом. Сначала определяется правило, и только потом вычисляется его результат.
Задача 2. Вычисли 18 − 7 и 7 − 18. Сравни результаты и объясни, почему они различаются. Оба выражения содержат одинаковые числа, но их расположение изменено. Поэтому важно проверить, влияет ли порядок операндов на выбранную операцию.
Ответ: 18 − 7 = 11, 7 − 18 = −11; результаты не равны. Если первое число меньше второго, разность будет отрицательной. Значит, при вычитании нельзя менять операнды местами, сохраняя прежний ответ.
Задача 3. Вычисли значение выражения 36 : (3 + 3) − 2 и объясни порядок действий. Сначала проверим, допустимо ли деление: значение выражения в скобках должно стать делителем, отличным от нуля. Затем применим правила порядка действий, чтобы получить единственный правильный ответ.
Ответ: 4. Скобки потребовали сначала выполнить сложение, а затем можно было перейти к делению и вычитанию. Если бы начать с другого действия, порядок вычислений не соответствовал бы записи выражения.
Менять местами операнды при любом действии. Так ошибаются, потому что сложение и умножение действительно сохраняют результат при перестановке чисел. Но для вычитания, например 9 − 4 и 4 − 9, результаты разные; при делении порядок также важен. Проверь себя, выполнив оба действия отдельно и сравнив ответы.
Вычислять слева направо, не учитывая правила порядка действий. Так поступают, когда читают выражение как обычную последовательность команд и не замечают скобок или умножения. Например, в 2 + 3 · 4 сначала нужно выполнить умножение, а не сложение. Для проверки отметь скобки и операции каждого уровня, а затем выполни их в установленном порядке.
Делить на ноль. Ошибка возникает, если считать, что деление возможно при любых двух числах. Однако у выражения с нулём в роли делителя нет значения, поскольку умножение любого числа на ноль даёт ноль. Перед делением найди делитель и убедись, что он не равен нулю.
Путать знак операции со знаком числа. Минус перед числом может обозначать отрицательное число, а знак между числами — действие вычитания. Путаница появляется из-за того, что в обоих случаях используется символ −. Проверь, где именно стоит знак: между двумя операндами он обозначает действие, а перед числом относится к записи самого числа.
Для работы с операциями нужно знать натуральные числа, арифметические действия и смысл знаков +, −, ·, :. Понимание того, как действуют правила и как читать запись, пригодится при вычислениях с числовыми и буквенными выражениями, решении уравнений и преобразовании формул. Те же правила порядка действий используются в выражениях с дробями, десятичными числами и степенями. Поэтому точное чтение операций служит основой для многих последующих тем.
Что в математике называют операцией?
Операция — это правило, по которому из одного или нескольких исходных объектов получают результат. Например, сложение по правилу объединяет два числа и даёт их сумму.
Как называются числа, над которыми выполняют действие?
Они называются операндами. Например, в выражении 7 + 5 числа 7 и 5 — операнды, а 12 — результат.
Почему при вычитании нельзя менять числа местами?
Вычитание зависит от порядка чисел: 18 − 7 = 11, а 7 − 18 = −11. При перестановке операндов получается другое действие и другой результат.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление на ноль не определено. Не существует такого числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо, если скобки не задают иной порядок.
Урок 35. Операции
