"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Решение задачи — это не угадывание нужного действия, а последовательный переход от условия к ответу. Сначала выясняют, какие величины известны и что нужно найти, затем устанавливают связи между ними и представляют их в удобной модели. По модели составляют план, выполняют действия и проверяют результат по смыслу условия. Такой подход помогает решать задачи разных типов и замечать ошибки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — запись условия задачи с помощью чисел, выражений, равенств, схемы или чертежа. Она показывает, как связаны данные и искомые величины, а не просто повторяет текст другими знаками. Например, если во второй коробке на 7 карандашей больше, чем в первой, связь можно записать как 18 + 7. Модель помогает увидеть, какие действия соответствуют условию.
Краткая запись — компактное представление известных и неизвестных величин и отношений между ними. В ней обычно указывают, что известно о каждом объекте и что требуется найти. Такая запись помогает не терять данные среди слов и сравнивать величины между собой. По ней легче понять, каких сведений достаточно для ответа.
Решение задачи — последовательность обоснованных действий, которые приводят от условия к ответу. Каждое действие должно либо отвечать на вопрос задачи, либо находить величину, необходимую для следующего шага. Поэтому важно уметь объяснить не только вычисление, но и его смысл. Если действие не связано с вопросом или промежуточной целью, план нужно пересмотреть.
Проверка решения — установление того, согласуется ли полученный результат с условием задачи. Для этого подставляют найденные величины в заданные отношения и оценивают, имеет ли ответ смысл. Проверка не сводится к повторению тех же вычислений: одинаковая ошибка может повториться. Нужно проверить именно связи из условия, например сумму, разность или стоимость покупки.
Решение начинается с внимательного чтения, потому что в условии могут быть важны не только числа, но и слова, связывающие величины. Сначала выясни, что известно, что требуется найти и о каких объектах идёт речь. Затем перечитай условие и проверь, не пропустил ли ты ограничение или сравнение. Это помогает не начать вычисления, которые сами по себе верны, но не отвечают на поставленный вопрос.
Чтобы выделить существенные данные, отдели известные величины от неизвестных и отметь, как они относятся друг к другу. Например, «на 9 больше» сообщает о разности, а «в 9 раз больше» — об отношении величин. Числа без связи между ними ещё не подсказывают нужное действие. Поэтому полезно словами сформулировать, что именно известно о каждой величине и что нужно узнать.
Представить условие можно по-разному, потому что разные модели лучше показывают разные связи. Краткая запись удобна, когда нужно собрать несколько величин и отношений в одном месте. Схема или чертёж наглядны, если важно увидеть части, порядок или сравнение; таблица помогает сопоставить данные нескольких объектов. Выражение или уравнение выбирают, если зависимость удобно записать математически.
По модели составляют план решения: выясняют, можно ли найти ответ сразу или сначала нужна промежуточная величина. Если неизвестны несколько величин, сформулируй промежуточные вопросы и расположи их в порядке, в котором на них можно ответить. Каждый следующий шаг должен опираться на уже известные данные. Такой план предотвращает случайный выбор действий и делает ход решения понятным.
После вычислений запиши ответ так, чтобы было ясно, какая величина найдена, и укажи подходящие единицы измерения. Затем вернись к условию и проверь, выполняются ли все заданные отношения. Оцени также правдоподобие результата: например, количество предметов не может быть отрицательным, а цена одной вещи не должна превышать общую стоимость нескольких таких вещей. Эта проверка по смыслу может обнаружить ошибку, даже если вычисления выполнены аккуратно.
| Способ | Что показывает | Когда удобен | Что помогает сделать |
|---|---|---|---|
| Краткая запись | Известные и неизвестные величины и отношения между ними | Когда условие содержит несколько величин и связей | Составить план действий |
| Схема или чертёж | Порядок, части и наглядные отношения величин | Когда важно увидеть структуру условия | Найти промежуточные величины |
| Таблица | Данные, распределённые по строкам и столбцам | Когда сравниваются несколько объектов или случаев | Не перепутать соответствующие данные |
| Выражение или уравнение | Зависимость неизвестного от известных величин | Когда связь удобно записать математически | Вычислить неизвестное и проверить результат |
Сначала определи, какая связь в условии главная: сравнение величин, распределение по объектам или зависимость неизвестного от данных. Затем выбери способ, который делает именно эту связь наглядной. Если модель не помогает составить план, попробуй представить условие иначе.
В одной коробке 18 карандашей, а в другой на 7 карандашей больше. Сколько карандашей во второй коробке? Слово «больше» здесь означает, что к количеству в первой коробке нужно прибавить разницу. Обозначим искомое выражением 18 + 7.
Ответ: 25 карандашей.
В двух коробках 47 карандашей. В первой на 9 карандашей больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке? Одного числа для ответа недостаточно: нужно найти два количества, сумма которых равна 47, а разность равна 9. Пусть во второй коробке x карандашей, тогда в первой — x + 9.
Ответ: в первой коробке 28 карандашей, во второй — 19.
За 3 одинаковые тетради и ручку за 40 рублей заплатили 190 рублей. Сколько стоит одна тетрадь? Сначала нужно отделить стоимость ручки от общей суммы, чтобы узнать, сколько заплатили за тетради. Обозначим цену одной тетради буквой x; тогда три тетради стоят 3x.
Ответ: одна тетрадь стоит 50 рублей.
Если начать вычисления, не выяснив, что требуется найти, можно получить верное число, которое отвечает на другой вопрос. Так случается, когда ученик цепляется за знакомые числа и выбирает действие без плана. Перед вычислениями сформулируй искомую величину и промежуточные вопросы. После решения сверь ответ с формулировкой вопроса.
Отношения «на несколько больше» и «в несколько раз больше» похожи по звучанию, но означают разное. Первое описывает разность, второе — во сколько раз величины отличаются; путаница возникает, если не представить смысл слов. Запиши отношение своими словами или покажи его схемой. Затем проверь, соответствует ли выбранное действие именно этому отношению.
Выбирать действие только по отдельному слову из условия ненадёжно: одно и то же слово встречается в задачах с разными связями. Такая ошибка возникает, если не учитывать, какие величины сравниваются и что уже известно. Составь модель целиком и посмотри, какая величина нужна для ответа. Проверь, что каждое действие следует из модели, а не из одного слова-подсказки.
Ответ без единиц измерения может оказаться непонятным, а отсутствие проверки не позволяет заметить бессмысленный результат. Иногда ученик торопится записать последнее число и забывает, что именно оно обозначает. Укажи предметы, рубли, метры или другие подходящие единицы. Затем подставь результат в условие и оцени, правдоподобен ли он.
Для решения задач нужны навыки арифметических вычислений и соблюдение порядка действий в выражениях. Если вычислительная часть выполнена неверно, даже правильно составленный план не приведёт к верному ответу. Поэтому полезно отдельно проверять и ход решения, и точность вычислений. Эти навыки применяются во многих разделах математики.
При построении модели помогают умение внимательно читать условие, сравнивать величины и обозначать неизвестное буквой. Буква позволяет записать связь, когда искомое значение заранее неизвестно. Такой способ особенно полезен при составлении уравнений. Работа с моделями готовит к изучению уравнений и решению практических задач в других разделах математики.
Зачем делать краткую запись, если условие можно перечитать?
Краткая запись собирает в одном месте известные и неизвестные величины и показывает связи между ними. Благодаря этому проще составить план и не перепутать данные, особенно если в условии несколько объектов или действий.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Нужно определить, какую величину можно найти по уже известным данным и как она связана с вопросом задачи. Если для ответа сначала требуется промежуточная величина, первым выполняют действие, которое её находит.
Когда удобнее составить уравнение, а когда — решить задачу по действиям?
Уравнение удобно, когда неизвестную величину можно обозначить буквой и записать отношения из условия одним равенством. Решение по действиям удобно, если последовательность нахождения величин легко объяснить без введения неизвестного.
Как проверить ответ, если в задаче несколько действий?
Подставь найденные значения в исходные связи и проверь, выполняются ли они. Например, если известны сумма и разность, нужно проверить обе: числа должны давать нужную сумму и отличаться на указанную величину.
Обязательно ли записывать единицы измерения в ответе?
Да, если величины имеют единицы измерения: они показывают, что именно найдено. Ответ «12» без пояснения может быть непонятен, а «12 карандашей» или «12 рублей» однозначно отвечает на вопрос.
Урок 34. Решение задач
