Урок 33. Вычитание трёхзначных чисел: 300 - 156

Определения и обозначения

Разряд числа — позиция цифры, которая показывает, сколько в числе единиц данного разряда. Например, в числе 300 цифра 3 стоит в разряде сотен и означает три сотни. Понимание разрядов помогает вычитать числа по частям, не смешивая единицы, десятки и сотни.

Разрядный состав числа — представление числа как суммы сотен, десятков и единиц. Например, 156 = 100 + 50 + 6, то есть одна сотня, пять десятков и шесть единиц. Так легче увидеть, какие части числа нужно вычесть друг из друга.

Размен разрядной единицы — замена одной сотни десятью десятками или одного десятка десятью единицами без изменения значения числа. Например, 100 можно представить как 10 десятков, а 10 — как 10 единиц. Размен нужен, когда в каком-то разряде уменьшаемого единиц меньше, чем требуется вычесть.

Вычитание с переходом через разряд — способ вычитания, при котором разрядную единицу разменивают, чтобы выполнить вычитание в каждом разряде. Например, если единиц не хватает, один десяток превращают в десять единиц. Этот приём позволяет вычитать числа столбиком, сохраняя их значение.

Как это устроено

При вычитании трёхзначных чисел удобно записывать уменьшаемое и вычитаемое столбиком, совмещая одинаковые разряды. Тогда единицы стоят под единицами, десятки — под десятками, сотни — под сотнями. Такое расположение не даёт случайно вычесть десятки из сотен и помогает разбирать вычисление по шагам. Сначала проверяют, хватает ли единиц в каждом разряде.

В числе 300 есть три сотни, но нет ни десятков, ни единиц. Поэтому нельзя сразу вычесть 156 по цифрам: из нуля единиц нельзя вычесть шесть, а из нуля десятков — пять. Сами цифры в записи показывают количество единиц своих разрядов, а не отдельные числа, которые можно вычитать как угодно. Нужно изменить разрядный состав 300, сохранив его значение.

Чтобы получить единицы для вычитания, сначала одну сотню заменяют десятью десятками. После этого в числе остаются две сотни и десять десятков, но единиц всё ещё нет. Затем один из десяти десятков заменяют десятью единицами. Это два последовательных размена: первый создаёт десятки, второй даёт единицы, которых не хватало.

После разменов в 300 остаются 2 сотни, 9 десятков и 10 единиц. Десятков стало девять, потому что один из полученных десяти десятков обменяли на единицы; сотен стало две, потому что одну сотню разменяли. Сумма разрядных частей по-прежнему равна 300: 200 + 90 + 10 = 300. Поэтому вычитание можно выполнить без изменения исходного числа.

Теперь из 10 единиц вычитают 6, из 9 десятков — 5, а из 2 сотен — 1. Получаются 4 единицы, 4 десятка и 1 сотня, то есть число 144. Разрядные результаты соединяют именно в таком порядке, от сотен к единицам. Проверка сложением подтверждает ответ: 144 + 156 = 300.

Вычитание трёхзначных чисел по разрядам

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу, только когда учёл предыдущий. Особенно внимательно отслеживай, из какого разряда взяли единицу при размене. В конце проверь ответ сложением.

Разбор задач

Задача 1

Вычисли 400 − 127, записав вычисление столбиком. В разряде единиц уменьшаемого стоит ноль, поэтому вычесть 7 единиц напрямую нельзя. Сначала нужно получить единицы разменом и проследить, сколько сотен и десятков останется.

1. Записываем числа столбиком: сотни под сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами.
2. Размениваем одну сотню на 10 десятков: остаются 3 сотни и 10 десятков. Один десяток меняем на 10 единиц, поэтому остаются 9 десятков и 10 единиц.
3. Вычитаем по разрядам: 10 − 7 = 3, 9 − 2 = 7, 3 − 1 = 2. Полученные цифры записываем как число 273.

Ответ: 273. Проверка: 273 + 127 = 400, значит, вычитание выполнено верно.

Задача 2

Вычисли 702 − 458 и проверь результат сложением. Здесь ноль стоит в разряде десятков, поэтому нельзя просто занять у десятков единицы. Нужно сначала разменять сотню, а затем один из полученных десятков.

1. Записываем числа столбиком и начинаем с единиц. В числе 702 одна сотня и два единицы, поэтому для вычитания 8 единиц выполняем размен через десятки.
2. Одну сотню заменяем десятью десятками: остаются 6 сотен и 10 десятков. Один десяток меняем на 10 единиц, поэтому остаются 9 десятков и 12 единиц.
3. Вычитаем единицы: 12 − 8 = 4. Затем десятки: 9 − 5 = 4. В разряде сотен осталось 6, поэтому 6 − 4 = 2.
4. Соединяем результаты по разрядам и получаем 244. Проверяем сложением: 244 + 458 = 702.

Ответ: 244. При проверке сумма совпала с уменьшаемым, значит, результат верный.

Задача 3

В коробке было 300 карандашей. 156 карандашей раздали. Нужно узнать, сколько карандашей осталось, и проверить решение. Поскольку из общего количества убрали часть, задачу решаем вычитанием 300 − 156.

1. Записываем выражение: 300 − 156. Располагаем числа столбиком, совместив одинаковые разряды.
2. Одну сотню из 300 размениваем на 10 десятков, затем один десяток — на 10 единиц. Получаем разрядный состав: 2 сотни, 9 десятков и 10 единиц.
3. Вычитаем: 10 − 6 = 4 единицы, 9 − 5 = 4 десятка, 2 − 1 = 1 сотня. Значит, в коробке осталось 144 карандаша.
4. Проверяем обратным действием: к оставшимся карандашам прибавляем розданные. 144 + 156 = 300, то есть снова получаем начальное количество.

Ответ: осталось 144 карандаша. Проверка подтверждает, что решение соответствует условию задачи.

Типичные ошибки

Ошибка: вычитать цифры по разрядам без размена, например пытаться получить 0 − 6. Так делают, когда воспринимают цифры как отдельные числа и забывают, что ноль обозначает отсутствие единиц данного разряда. Проверь себя: если в разряде уменьшаемого единиц меньше, чем в вычитаемом, сначала выполни размен. После этого вычитаемое в каждом разряде можно вычесть.

Ошибка: после размена сотни записать 10 десятков, но оставить прежнее количество сотен. Тогда к исходному числу прибавляется лишняя сотня, и его значение меняется. Это происходит, если замечать только новые десятки и не отмечать, откуда они взялись. Проверь себя: после размена сотни количество сотен уменьшается на 1, а количество десятков увеличивается на 10.

Ошибка: разменять один десяток на единицы и оставить прежнее число десятков. В разряде десятков тогда окажется лишняя единица, как будто размен ничего не стоил. Проверь себя: при замене одного десятка десятью единицами десятков становится на один меньше, а единиц — на десять больше. Сумма разрядных частей должна остаться прежней.

Ошибка: неверно записать разность по разрядам или пропустить ноль в ответе. Например, ученик может переставить цифры, потому что не проверил, какой результат относится к сотням, десяткам и единицам. Проверь себя: сначала составь ответ из полученных разностей в правильном порядке. Затем прибавь вычитаемое к ответу: сумма должна равняться уменьшаемому.

Связь с другими темами

Для такого вычитания нужно знать разрядный состав трёхзначного числа и понимать, что значение цифры зависит от её места. Также пригодятся навыки вычитания однозначных чисел и записи вычислений столбиком без перехода через разряд: здесь эти действия соединяются с разменом. Тот же приём применяют при вычитании многозначных чисел, в том числе когда между разрядами есть нули. В текстовых задачах он помогает находить остаток: из начального количества вычитают то, что убрали или раздали.

Что запомнить

• При вычитании по разрядам сотни записывают под сотнями, десятки — под десятками, единицы — под единицами.
• Размен не меняет значение числа.
• Одну сотню можно заменить десятью десятками.
• Один десяток можно заменить десятью единицами.
• После размена нужно уменьшить на единицу тот разряд, из которого его выполнили.
• Вычитание можно проверить сложением: разность плюс вычитаемое равно уменьшаемому.