Урок 32. Вычитание трёхзначных чисел: 231 - 145

Определения и обозначения

Разряд — позиция цифры в записи числа, определяющая её значение: единицы, десятки или сотни. Например, в числе 231 цифра 2 стоит в разряде сотен, 3 — десятков, а 1 — единиц. Разряды помогают понять, какие части числа мы вычитаем друг из друга.

Разрядная единица — единица соответствующего разряда: 1, 10 или 100. Десять единиц образуют один десяток, а десять десятков — одну сотню. Знание этого правила позволяет заменять одну разрядную единицу десятью единицами соседнего младшего разряда, не изменяя число.

Разрядный состав числа — представление числа как суммы сотен, десятков и единиц. Например, 231 = 200 + 30 + 1, то есть 2 сотни, 3 десятка и 1 единица. Такой способ записи помогает следить, сколько единиц каждого разряда остаётся во время вычитания.

Вычитание с переходом через разряд — вычитание, при котором единицу старшего разряда заменяют десятью единицами соседнего младшего разряда. Так поступают, когда в разряде уменьшаемого цифра меньше, чем в разряде вычитаемого. Обмен даёт возможность вычесть нужное количество, сохранив значение уменьшаемого.

Как это устроено

Число 231 удобно представить по разрядам: это 2 сотни, 3 десятка и 1 единица. Такая запись показывает, что вычитание можно выполнять отдельно для единиц, десятков и сотен, но следить за обменами между ними. Начинают с единиц, потому что именно в этом разряде сначала проверяют, хватает ли цифры уменьшаемого.

Вычитая 145 из 231, сравниваем единицы: в уменьшаемом 1 единица, а вычесть нужно 5. Одной единицы недостаточно, поэтому один из трёх десятков заменяем десятью единицами. Это допустимо, поскольку один десяток и десять единиц имеют одинаковое значение.

После первого обмена в числе остаются 2 сотни, 2 десятка и 11 единиц. Значение числа по-прежнему равно 231: 200 + 20 + 11 = 231. Теперь единиц достаточно, поэтому вычисляем 11 − 5 = 6 и записываем 6 в разряд единиц.

Переходим к десяткам. После предыдущего обмена осталось 2 десятка, но вычесть нужно 4 десятка, поэтому одного разряда снова недостаточно. Один из двух десятков нельзя использовать для обмена: он находится в разряде десятков; вместо него обмениваем одну сотню на десять десятков. Получается 1 сотня и 12 десятков, потому что прежние 2 десятка складываются с полученными 10.

Теперь вычитаем по разрядам: 12 − 4 = 8 десятков, а 1 − 1 = 0 сотен. Значит, в разности 8 десятков и 6 единиц, то есть 86. Проверка сложением подтверждает результат: 86 + 145 = 231, поэтому вычитание выполнено верно.

Вычитание 231 − 145 по разрядам

Таблица показывает, что происходит с каждым разрядом уменьшаемого и какое действие выполняется в нём. Читай её сверху вниз: сначала единицы, затем десятки и сотни. При обмене учитывай не только новые единицы младшего разряда, но и уменьшение числа единиц старшего.

Разбор задач

Вычисли 356 − 124.

Сравним цифры в каждом разряде, чтобы понять, потребуется ли обмен. В единицах 6 больше 4, в десятках 5 больше 2, а в сотнях 3 больше 1. Значит, можно вычитать разряды по очереди без перехода через разряд.

1. Вычитаем единицы: 6 − 4 = 2.
2. Вычитаем десятки: 5 − 2 = 3.
3. Вычитаем сотни: 3 − 1 = 2, затем записываем полученные цифры в разрядном порядке.

Ответ: 232.

Вычисли 231 − 145 и проверь результат сложением.

Сначала сравним цифры в одинаковых разрядах. Единиц и десятков в числе 231 меньше, чем нужно вычесть, поэтому обмены понадобятся в обоих разрядах. После каждого обмена отмечаем, на единицу ли уменьшилось число в старшем разряде.

1. Обмениваем один десяток на 10 единиц: вместо 1 единицы получаем 11, а десятков остаётся 2.
2. Вычитаем единицы: 11 − 5 = 6.
3. Обмениваем одну сотню на 10 десятков: остаётся 1 сотня, а десятков становится 12.
4. Вычитаем десятки и сотни: 12 − 4 = 8, 1 − 1 = 0. Получаем 86.
5. Проверяем сложением: 86 + 145 = 231.

Ответ: 86. Проверка показывает, что разность и вычитаемое в сумме дают уменьшаемое.

Вычисли 402 − 178.

В числе 402 в разряде десятков стоит ноль, а вычитать нужно 7 десятков. Поэтому нельзя сразу занять один десяток для единиц: его нет. Сначала обменяем сотню на десятки, а потом один из полученных десятков — на единицы.

1. Обмениваем одну сотню на 10 десятков: получаем 3 сотни, 10 десятков и 2 единицы.
2. Чтобы вычесть единицы, обмениваем один десяток на 10 единиц. Теперь в числе 3 сотни, 9 десятков и 12 единиц.
3. Вычитаем единицы: 12 − 8 = 4.
4. Вычитаем десятки: 9 − 7 = 2.
5. Вычитаем сотни: 3 − 1 = 2.

Ответ: 224. Разрядный состав после обменов равен 300 + 90 + 12, то есть исходные 402.

Типичные ошибки

Вычитать единицы без обмена, когда их не хватает. Например, в разряде единиц числа 231 нельзя вычесть 5 из 1, не изменив разрядный состав. Такая ошибка возникает, если сразу записать разность цифр или перепутать порядок вычитания. Проверь себя: перед действием сравни цифры и, если уменьшаемая меньше, выполни обмен.

Забывать уменьшить число в старшем разряде после обмена. Если десяток превратили в десять единиц, десятков стало на один меньше; если сотню превратили в десятки, на одну уменьшилось число сотен. Ошибку допускают, сосредоточившись только на разряде, куда добавили единицы. Сверь разрядный состав до и после обмена: значение числа должно остаться прежним.

Записать 10 десятков и не учесть оставшиеся десятки. При обмене сотни десять десятков добавляются к тем десяткам, которые уже были. Поэтому в примере после первого обмена сотни на десятки получается не просто 10, а 12 десятков. Чтобы проверить себя, сложи количество прежних десятков и полученных при обмене.

Вычитать большую цифру из меньшей без обмена или проверки. Иногда в разряде записывают результат в неверном порядке, например считают 1 − 5 как 4. Это происходит, если забыть, что уменьшаемое и вычитаемое имеют разные роли. Сначала проверь, хватает ли цифры уменьшаемого; после вычисления прибавь разность к вычитаемому и сравни сумму с уменьшаемым.

Связь с другими темами

Для этого приёма нужно уметь представлять трёхзначное число как сумму разрядных слагаемых. Также необходимо знать, что 10 единиц составляют 1 десяток, а 10 десятков — 1 сотню. Эти равенства объясняют, почему обмен не меняет значение числа.

Способ опирается на письменное вычитание двузначных чисел с переходом через разряд. В трёхзначном числе к знакомому обмену единиц и десятков добавляется возможность обменять сотню на десятки. Порядок действий при этом остаётся разрядным.

Этот приём понадобится при письменном вычитании многозначных чисел, особенно если в одном из разрядов стоит ноль. В таком случае обмен может проходить через несколько разрядов. Нужно последовательно следить за тем, какие разряды уменьшились и сколько единиц получили соседние младшие разряды.

Что запомнить

• Вычитание столбиком начинают с разряда единиц.
• Если единиц не хватает, один десяток заменяют десятью единицами.
• Если десятков не хватает, одну сотню заменяют десятью десятками.
• После обмена нужно уменьшить на единицу число в старшем разряде.
• Для 231 − 145 сначала получают 11 − 5, затем 12 − 4.
• Разность 231 − 145 равна 86.
• Правильность вычитания можно проверить сложением: разность плюс вычитаемое равно уменьшаемому.