"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Трёхзначные числа вычитают по разрядам: единицы — из единиц, десятки — из десятков, сотни — из сотен. Если в каком-то разряде уменьшаемого цифра меньше, чем в вычитаемом, единицу старшего разряда раскладывают на 10 единиц младшего. Так сохраняется значение числа и становится возможным вычитание. Письменная запись помогает следить за переходами, а проверка сложением показывает, верно ли найден ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение: единицы, десятки или сотни. Например, в числе 243 цифра 2 обозначает две сотни, 4 — четыре десятка, а 3 — три единицы. Разряды помогают понимать состав числа и выполнять действия с одинаковыми частями числа.
Разрядная единица — единица счёта соответствующего разряда: 1 для единиц, 10 для десятков и 100 для сотен. Десять единиц составляют один десяток, а десять десятков — одну сотню. Эта связь нужна, чтобы при вычитании можно было заменить одну единицу старшего разряда десятью единицами младшего.
Вычитание с переходом через разряд — вычитание, при котором для действия в одном разряде единицу старшего разряда раскладывают на единицы младшего. Так поступают, если цифра уменьшаемого в нужном разряде меньше цифры вычитаемого. Переход позволяет выполнить вычитание, не меняя общего значения уменьшаемого.
Письменный способ вычитания трёхзначных чисел — последовательное вычитание разрядов справа налево с учётом перехода через разряд. Сначала считают единицы, затем десятки и сотни, записывая цифры результата под соответствующими разрядами. Такой порядок помогает не перепутать значения цифр и заметить, где требуется переход.
Трёхзначное число состоит из сотен, десятков и единиц, поэтому перед вычитанием цифры одинаковых разрядов располагают друг под другом. Тогда каждая вертикальная колонка показывает, какие величины нужно вычесть: единицы из единиц, десятки из десятков, сотни из сотен. Если записать числа не по разрядам, например поставить единицы под десятками, вычисление уже не будет соответствовать исходному действию. Разрядная запись сохраняет смысл каждой цифры.
Рассмотрим 243 − 114. В разряде единиц нужно вычесть 4 из 3, но это невозможно без перехода, поэтому один десяток раскладываем на 10 единиц. В 243 было 4 десятка и 3 единицы; после разложения остаются 3 десятка и 13 единиц. Теперь вычисляем справа налево: 13 − 4 = 9, 3 − 1 = 2, 2 − 1 = 1. Значит, 243 − 114 = 129.
После займа число десятков уменьшается не произвольно: именно один десяток был заменён десятью единицами. Поэтому в записи 243 после перехода остаются 3 десятка, а единиц становится 13. Это две равные записи одного и того же числа: 243 = 200 + 30 + 13. Если прибавить 10 к единицам и забыть убрать десяток, число изменится на 10, и результат вычитания окажется неверным.
Теперь разберём 316 − 152. Сначала для единиц занимаем один десяток: вместо 1 десятка и 6 единиц получаем 0 десятков и 16 единиц. Вычитаем единицы: 16 − 2 = 14, но в разряде десятков теперь 0, а нужно вычесть 5 десятков. Поэтому одну сотню раскладываем на 10 десятков: из 3 сотен остаются 2, а десятков становится 10. Получаем 10 − 5 = 5 десятков и 2 − 1 = 1 сотню, то есть разность равна 164.
Результат вычитания можно проверить сложением. К разности прибавляют вычитаемое: если сумма равна уменьшаемому, вычисление верно. Для первого примера проверка выглядит так: 129 + 114 = 243. Для второго: 164 + 152 = 316. Проверка помогает обнаружить ошибку в переходе или в вычислении отдельного разряда.
| Этап | 243 − 114 | 316 − 152 |
|---|---|---|
| Запись чисел по разрядам | 243 и 114: единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. | 316 и 152: цифры располагают в соответствующих разрядах. |
| Переход при вычитании единиц | 3 единицы недостаточно: 4 десятка превращаются в 3 десятка и 13 единиц. | 1 десяток превращается в 0 десятков, а 6 единиц — в 16 единиц. |
| Переход при вычитании десятков | Переход не нужен: 3 десятков достаточно, чтобы вычесть 1 десяток. | Десятков не хватает: 3 сотни превращаются в 2 сотни и 10 десятков. |
| Вычитание по разрядам | 13 − 4 = 9; 3 − 1 = 2; 2 − 1 = 1. | 16 − 2 = 14; 10 − 5 = 5; 2 − 1 = 1. |
| Результат и проверка сложением | 129; 129 + 114 = 243. | 164; 164 + 152 = 316. |
Читайте таблицу сверху вниз: сначала проверьте расположение цифр, затем проследите, какие разряды меняются при переходе. В последней строке можно сверить и разность, и проверку сложением. Запись переходов особенно полезна, если занимать приходится сначала десяток, а затем сотню.
Сначала расположим числа по разрядам и посмотрим, нужна ли замена единицы старшего разряда. В каждом столбце цифра уменьшаемого не меньше цифры вычитаемого, поэтому переходов не будет. Вычитаем отдельно единицы, десятки и сотни.
Записываем полученные цифры в тех же разрядах: выходит 122. Ответ: 122.
Начинаем с единиц: из 3 нельзя вычесть 4, значит, нужно занять один десяток. Это не добавление числа к уменьшаемому, а замена одной десятки десятью единицами. После такого перехода важно изменить и число десятков, чтобы значение 243 осталось прежним.
Сумма совпала с уменьшаемым, значит, вычисление проверено. Ответ: 129.
В разряде единиц 6 меньше 2? Нет, но запись числа 316 имеет 6 единиц, а в вычитаемом 2; поэтому переход для единиц не требуется. Однако по условию примера нужно вычесть 152: в единицах 6 − 2 = 4. Затем в десятках 1 меньше 5, и здесь понадобится переход через сотню. Следим, чтобы сотни и десятки изменились согласованно.
После займа сотни нужно учитывать, что к 10 новым десяткам добавляется уже имевшийся 1 десяток: всего их 11. Проверка возвращает исходное число. Ответ: 164.
Если записать числа так, что цифры одинаковых разрядов не стоят друг под другом, можно вычесть, например, единицы из десятков. Так случается, когда ориентируются на длину записи, а не на разряд цифры. Перед вычислением проверь вертикальные колонки, а после сложи ответ с вычитаемым: неверное расположение часто обнаруживается при проверке.
При переходе к единицам иногда прибавляют 10, но забывают уменьшить число десятков на 1. Тогда вместо замены десятка число фактически увеличивается. Помни: 4 десятка и 3 единицы превращаются в 3 десятка и 13 единиц, а не в 4 десятка и 13 единиц. Проверка сложением покажет, что полученная разность не возвращает исходное уменьшаемое.
При переходе через сотню можно забыть уменьшить число сотен или прибавить 10 к десяткам, не сохранив прежний десяток. В обоих случаях нарушается равенство исходной записи и записи после займа. Например, если к 1 десятку разложить сотню, получится 11 десятков, а не 10. Записывай изменения обоих разрядов и сверяй результат сложением.
Ещё одна ошибка — перепутать цифры в ответе или неверно вычислить разность внутри столбца. Её часто допускают, когда торопятся и не следят, к какому разряду относится очередная цифра. Записывай ответ под соответствующими разрядами, а затем выполни проверку: разность плюс вычитаемое должны дать уменьшаемое. Если сумма отличается, пересчитай столбцы по порядку.
Для вычитания с переходом нужно знать разрядный состав трёхзначных чисел и то, что 10 единиц составляют десяток, а 10 десятков — сотню. Пригодятся также навыки сложения и вычитания однозначных и двузначных чисел: именно эти действия выполняются внутри каждого разряда. Проверка сложением помогает контролировать вычисления. Освоенный письменный способ затем используют для многозначных чисел и задач, где нужно найти разность величин.
Почему при вычитании единиц нужно уменьшить число десятков?
Один десяток раскладывают на 10 единиц, поэтому десятков в уменьшаемом становится на один меньше. Значение числа не меняется: вместо одного десятка записывают равные ему десять единиц.
Что делать, если единиц уменьшаемого меньше, чем единиц вычитаемого?
Займи один десяток: уменьши число десятков на 1 и прибавь 10 к числу единиц. После этого вычти единицы и продолжай считать слева направо по разрядам, то есть от единиц к десяткам и сотням.
Как выполнить вычитание, если десятков тоже не хватает?
Разложи одну сотню на 10 десятков: число сотен уменьшится на 1, а число десятков увеличится на 10. Затем вычти десятки и продолжи вычитание сотен.
Почему числа при письменном вычитании записывают разряд под разрядом?
Так единицы вычитаются из единиц, десятки — из десятков, а сотни — из сотен. Если цифры расположить неверно, действие будет выполнено над разными разрядами и ответ окажется неправильным.
Как проверить результат вычитания?
Прибавь к разности число, которое вычитали. Если получилось исходное уменьшаемое, вычитание выполнено верно.
Урок 31. Вычитание трёхзначных чисел: 243 - 114, 316 - 152
