"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Умножение многозначного числа на однозначное помогает быстро находить сумму одинаковых слагаемых — например, считать книги в нескольких одинаковых коробках. Число раскладывают на разрядные слагаемые или умножают столбиком, начиная с единиц. Если произведение в разряде содержит десятки, их переносят к следующему разряду и прибавляют к новому произведению. Понимание этого правила помогает не терять разрядные единицы и проверять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однозначный множитель — число, записанное одной цифрой, от 0 до 9. При умножении на него каждую цифру многозначного числа умножают на один и тот же множитель, а не на отдельные разрядные цифры, как при умножении на многозначное число. Это позволяет выполнить вычисление коротким способом.
Разрядное слагаемое — слагаемое, которое показывает вклад одного разряда в число. Например, 583 = 500 + 80 + 3: здесь 500, 80 и 3 — разрядные слагаемые. Такое разложение помогает увидеть, какие части числа предстоит умножить.
Письменное умножение на однозначное число — способ вычисления столбиком, при котором цифры числа умножают на однозначный множитель, начиная с единиц. Запись столбиком упорядочивает действия по разрядам и помогает не перепутать их места. Она особенно удобна, когда появляются переносы.
Перенос разрядной единицы — переход части результата из одного разряда в следующий, если произведение содержит десятки или больше. Например, 8 · 4 = 32: две единицы остаются в разряде единиц, а три десятка переходят к разряду десятков. Перенос нужен, чтобы сохранить значение результата.
Любое многозначное число можно представить суммой разрядных слагаемых, а затем применить распределительное свойство умножения: каждое слагаемое умножить на один и тот же множитель и сложить результаты. Например, 243 · 2 = (200 + 40 + 3) · 2 = 400 + 80 + 6. Получается 486. Этот способ объясняет, почему в столбике работают с цифрами каждого разряда отдельно: так короче записываются те же вычисления.
Умножение начинают с единиц, потому что результат в этом разряде может дать десятки для следующего разряда. Если умножать десятки до единиц, пришлось бы возвращаться и менять уже записанную цифру. Двигаясь справа налево, мы передаём десятки сразу туда, где они нужны. Так запись остаётся последовательной и не теряет разрядные единицы.
При вычислении столбиком сначала умножают цифру единиц на множитель. В ответ записывают только единицы этого произведения, а десятки запоминают как перенос. Затем умножают цифру десятков и прибавляют перенос; так же поступают с каждым следующим разрядом. Например, если получилось 27, в текущем разряде пишут 7, а 2 десятка прибавляют к следующему произведению.
Если произведение цифры на множитель однозначное, в разряде записывают его целиком, но сначала прибавляют имеющийся перенос. Например, при умножении цифры 2 на 3 с переносом 1 получаем 2 · 3 + 1 = 7. Перенос в этот разряд уже включён, поэтому отдельно прибавлять его ещё раз не нужно. Такой порядок сохраняет точное значение каждой части числа.
После вычисления стоит прикинуть ответ: округлить число и оценить, сколько примерно должно получиться. Затем можно разделить произведение на множитель и проверить, вернулось ли исходное число. Например, результат около 1500 разумен для числа около 400, умноженного на 4. Прикидка быстро обнаруживает ошибку в разряде, а обратное действие помогает проверить точность вычисления.
| Случай | Действия по разрядам | Что записать | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Умножение без перехода через разряд | Умножить цифры справа налево; переносов нет. | Полное произведение каждой цифры в её разряде. | Сохранять положение цифр в ответе. |
| Умножение с переносом в следующий разряд | Умножить цифру, отделить единицы от десятков; десятки прибавить к следующему произведению. | Единицы — в текущий разряд, десятки — как перенос влево. | Не потерять перенос и не прибавить его дважды. |
| Нуль в записи числа | Умножить нуль на множитель и учесть возможный перенос из предыдущего разряда. | Записать результат в разряде нуля, включая перенос. | Не пропускать нуль: он сохраняет место разряда. |
| Перенос в старший разряд | После умножения последней цифры прибавить оставшийся перенос. | Записать полученное число перед уже найденными разрядами. | У ответа может появиться дополнительная цифра. |
Сверяй свой случай с таблицей, переходя от единиц к старшим разрядам. В каждой строке проверяй, что именно записывается, а что переносится. Особо следи за нулями и переносом после последнего разряда.
Задача 1. Вычисли 243 · 2, используя разложение 243 на разрядные слагаемые. Представим число как 200 + 40 + 3, чтобы отдельно умножить сотни, десятки и единицы на 2. Такой способ показывает смысл письменного алгоритма. Затем сложим полученные части.
Ответ: 486. Каждая часть результата сохранила исходный разряд, поэтому их можно сложить без переносов.
Задача 2. Вычисли 368 · 4 столбиком. Начинаем с единиц: именно здесь может появиться перенос в десятки. После этого последовательно обрабатываем десятки и сотни, каждый раз прибавляя перенос к новому произведению. Так действия соответствуют разрядному разложению числа.
Ответ: 1472. В записи 14 сотен — это 1 тысяча и 4 сотни, поэтому итог содержит четыре цифры.
Задача 3. В школьную библиотеку привезли 7 коробок по 246 книг. Сколько книг привезли? Количество коробок показывает, сколько раз нужно взять по 246 книг, значит, задачу решаем умножением 246 на 7. Удобно вычислить произведение столбиком и проверить, согласуется ли оно с примерной оценкой.
Ответ: 1722 книги. Проверка оценкой не доказывает точность сама по себе, но помогает заметить грубую ошибку в вычислении или разрядах.
Начинают умножение со старшего разряда. Так поступают, потому что привыкли читать число слева направо, но перенос из младшего разряда ещё неизвестен. В результате приходится менять уже записанные цифры или перенос можно забыть. Проверяй порядок действий: вычисление должно идти от единиц влево.
Записывают всё произведение цифры на множитель в текущем разряде. Например, при 8 · 4 = 32 нельзя поместить 32 в разряд единиц: так нарушится разрядный состав ответа. Ошибку допускают, не разделяя единицы и десятки результата. Проверь, что в текущей позиции стоит одна цифра, а десятки отправлены в перенос.
Забывают прибавить перенос к следующему произведению. Тогда часть результата не учитывается, поэтому ответ получается меньше правильного. Это часто случается, когда перенос запоминают, но не записывают рядом с вычислением. Перед каждым новым умножением проверь, есть ли перенос и прибавлен ли он.
Ставят цифры не под теми разрядами или пропускают нуль. Причина обычно в неаккуратной записи: цифры смещаются, а пустую позицию считают ненужной. Но нуль сохраняет место разряда, и без него значение числа меняется. Сверь число цифр и разряды ответа с исходной записью, затем проверь результат оценкой или делением.
Перед этой темой полезно знать таблицу умножения и понимать разрядный состав многозначных чисел. Тогда легче умножать цифры и видеть, почему перенос из единиц становится десятками. Распределительное свойство связывает вычисление по разрядам с записью столбиком: оба способа дают один и тот же результат. Позже это умение пригодится при умножении многозначных чисел на многозначные, вычислениях с величинами и решении практических задач.
Почему умножение столбиком начинают с единиц?
При умножении единиц могут получиться десятки, которые нужно перенести в разряд десятков. Тогда при вычислении десятков перенос уже можно сразу прибавить. Если начинать со старшего разряда, это усложнит запись и учёт переносов.
Что делать, если произведение цифры на множитель больше девяти?
Запиши в текущем разряде только цифру единиц полученного произведения. Десятки перенеси к следующему разряду и прибавь к произведению его цифры на множитель.
Куда записывать десятки, полученные при умножении разряда?
Их переносят в соседний разряд слева. Например, десятки, полученные при умножении единиц, учитывают при умножении десятков.
Нужно ли прибавлять перенос к следующему произведению?
Да, перенос обязательно прибавляют к произведению цифры следующего разряда на множитель. Иначе часть результата потеряется, и ответ окажется меньше правильного.
Как проверить умножение на однозначное число?
Можно разделить полученное произведение на множитель: должно получиться исходное число. Дополнительно оцени результат прикидкой, чтобы убедиться, что его порядок величины разумен.
Урок 1—4 Умножение на однозначное число
