Урок 11 Решение задач

Определения и обозначения

Условие задачи — данные и связи между ними, из которых нужно исходить при решении. В нём могут быть известные числа, величины и слова, показывающие отношения между ними. Если выделить эти сведения до вычислений, легче понять, какие данные нужны и как они связаны.

Требование задачи — то, что нужно найти или доказать. Оно часто сформулировано вопросом в конце, но может быть выражено и иначе. Понимание требования помогает не остановиться на промежуточном результате и не отвечать на другой вопрос.

Математическая модель — запись условия с помощью чисел, выражений, уравнений, схемы или таблицы. Модель оставляет важные для решения данные и показывает отношения между ними. Она нужна, чтобы перейти от текста к понятным математическим действиям и не потерять смысл условия.

Решение задачи — последовательность обоснованных действий, ведущих от условия к ответу. Каждый шаг должен опираться на данные или на предыдущий результат. Такое понимание решения помогает объяснить ход мысли и проверить, действительно ли вычисления отвечают на поставленный вопрос.

Как это устроено

Сначала отдели известные данные от неизвестных величин и прочитай, что именно требуется найти. Затем найди слова и фразы, связывающие величины: например, «осталось», «поровну», «в несколько раз больше». Это нужно потому, что одни и те же числа могут участвовать в разных отношениях, а без понимания вопроса легко вычислить не то.

Полезно представить ситуацию схемой, таблицей или краткой записью. Например, схема может показать части и целое, а таблица — сопоставить количество и стоимость. Такое представление делает отношения видимыми: становится проще заметить, что известно, чего не хватает и какой промежуточный результат понадобится.

По записи ситуации выбери подходящую математическую модель: выражение, уравнение, схему или таблицу. Затем проверь, отражает ли она все существенные данные и связи из текста. Если в модели осталось только несколько чисел, но пропало, например, условие «вдвое больше», она не передаёт смысл задачи и может привести к неверному ответу.

Составляя план, определи, что можно найти первым, а затем — как это поможет получить требуемую величину. Часто решение состоит из нескольких шагов: сначала находят цену одного предмета, потом стоимость нескольких. Такой порядок нужен, чтобы каждый промежуточный результат имел понятный смысл и приближал к ответу.

После вычислений вернись к вопросу и проверь результат по условию или обратным действием. Например, если известны начальное количество и остаток, найденное количество взятых предметов должно восстановить исходное число. Затем запиши ответ с нужными единицами измерения: это помогает заметить, если посчитаны, например, рубли вместо предметов.

Этапы решения задачи и их назначение

Пользуйся таблицей как маршрутом от текста к ответу: переходи к следующему этапу, когда разобрался с предыдущим. Если на каком-то шаге обнаружилась неясность, вернись к условию или модели, а не подбирай действие наугад. Проверка помогает убедиться, что найденное значение подходит именно к вопросу задачи.

Разбор задач

Карандаши в коробке

В коробке было 18 карандашей. После того как несколько карандашей взяли, осталось 11. Нужно узнать, сколько карандашей взяли. Здесь известны начальное количество и остаток, а искомая часть — разность между ними.

1. Обозначим количество взятых карандашей неизвестным числом. Начальное количество состоит из взятых карандашей и тех, что остались.
2. Чтобы найти взятую часть, вычтем остаток из начального количества: 18 − 11 = 7.
3. Проверим обратным действием: если к 11 оставшимся карандашам прибавить 7 взятых, получится 18, как было сначала.

Ответ: взяли 7 карандашей. Проверка подтверждает, что найденное число согласуется с условием и отвечает именно на вопрос.

Стоимость тетрадей

За 3 одинаковые тетради заплатили 240 рублей. Нужно узнать стоимость 5 таких тетрадей. Нельзя сразу умножить 240 на 5: сумма 240 рублей относится к трём тетрадям, поэтому сначала требуется найти стоимость одной.

1. Найдём цену одной тетради: 240 : 3 = 80 рублей. Этот промежуточный результат показывает цену одного предмета.
2. Поскольку все тетради одинаковые, стоимость пяти равна пяти таким ценам: 80 · 5 = 400 рублей.
3. Проверим смысл вычислений: пять тетрадей стоят больше, чем три, а цена одной тетради остаётся неизменной.

Ответ: 5 тетрадей стоят 400 рублей. Два действия связаны промежуточным результатом — ценой одной тетради.

Детали в двух коробках

В двух коробках 54 детали, причём в первой деталей в 2 раза больше, чем во второй. Требуется узнать количество деталей в каждой коробке. Обозначим количество деталей во второй коробке через x, тогда количество в первой можно записать как 2x.

1. Сложим количества в обеих коробках: x + 2x = 54. Это уравнение передаёт одновременно общее число деталей и отношение между коробками.
2. Объединим подобные слагаемые: 3x = 54, поэтому x = 54 : 3 = 18. Во второй коробке 18 деталей.
3. Найдём количество в первой: 2 · 18 = 36 деталей. Проверим: 18 + 36 = 54, а 36 в два раза больше 18.

Ответ: в первой коробке 36 деталей, во второй — 18 деталей. Обе проверки подтверждают, что уравнение и найденные значения соответствуют условию.

Типичные ошибки

Если начать считать, не выяснив, что требуется найти, можно получить промежуточную величину и принять её за ответ. Так происходит, когда внимание привлекают числа, а вопрос читают невнимательно. Проверь себя: сформулируй ответ словами вопроса и сопоставь его с последним вычислением.

Модель, составленная только из отдельных чисел, может не учитывать отношения между ними. Например, запись 54 и 2 сама по себе не показывает, что общее количество деталей разделено между двумя коробками, а в одной их вдвое больше. Сверь каждый элемент модели с условием: все ли важные связи показаны?

Фразы «в 2 раза больше» и «на 2 больше» задают разные отношения: первая связана с умножением, вторая — с прибавлением. Их путают, если выбирать действие по знакомому числу, не вникая в слова задачи. Проверь себя на простом примере: при 5 предметах в одной коробке вдвое больше — это 10, а на 2 больше — 7.

Если не проверять ответ и не писать единицы измерения, числовое значение может оказаться неверным по смыслу или неполным. Например, в задаче о стоимости нужно ответить в рублях, а не просто записать число 400. Подставь результат в условие или выполни обратное действие и убедись, что единицы соответствуют найденной величине.

Связь с другими темами

Для решения задач нужно уметь выполнять арифметические действия, читать условие и понимать отношения «на несколько больше» и «в несколько раз больше». При построении модели используются уже знакомые выражения, уравнения, таблицы и схемы. Освоенный способ рассуждать пригодится дальше при решении уравнений и задач на проценты, пропорции и движение, где важно так же точно связать данные и неизвестные величины.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• Покажи связи между величинами с помощью модели.
• План решения должен вести от известных данных к требованию задачи.
• Промежуточные результаты должны иметь смысл в условии.
• Проверь ответ подстановкой в условие или обратным действием.
• Запиши ответ с подходящими единицами измерения.