Уроки 12 — 13 Объединение множеств. Знак U

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемая как единое целое. Например, можно рассматривать множество школьных принадлежностей или множество чисел. Объекты, которые входят в множество, называют его элементами. Это понятие позволяет говорить о группе объектов как об одном целом.

Элемент множества — объект, принадлежащий данному множеству. Если элемент x входит в множество A, пишут x ∈ A; знак ∈ читают «принадлежит». Если объект не входит в множество, используют запись x ∉ A, то есть «не принадлежит». Эти обозначения помогают точно проверять, входит ли объект в нужную группу.

Объединение множеств — множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из объединяемых множеств. Например, при объединении двух групп предметов мы включаем предметы из каждой группы. Если предмет встречается в обеих группах, в итоговом множестве он всё равно считается одним элементом. Такое правило сохраняет смысл множества как набора неповторяющихся объектов.

Знак объединения ∪ используют, чтобы записывать объединение множеств. Например, A ∪ B означает объединение множеств A и B. Знак ∪ похож на латинскую букву U, но в записи это специальный математический символ. Он показывает, что элементы двух множеств собраны в одну общую группу.

Как это устроено

Представим группу детей, которые занимаются рисованием, и группу детей, которые занимаются музыкой. Если собрать одну группу всех детей, посещающих хотя бы одно из этих занятий, получится объединение двух исходных групп. В него попадут и те, кто рисует, и те, кто занимается музыкой. Такой способ объединения нужен, когда нас интересуют все участники, подходящие хотя бы под один из признаков.

Каждый элемент исходных множеств включают в результат, потому что объединение должно охватить обе группы целиком. Если один объект есть в обоих множествах, это всё тот же объект, а не два разных элемента. Поэтому при записи его указывают один раз. Например, общая книга в двух списках книг останется одной книгой в объединённом списке.

Чтобы проверить принадлежность объединению, достаточно проверить два условия: входит ли элемент в A и входит ли он в B. Элемент принадлежит A ∪ B, если верно хотя бы одно из этих условий; допускается, что верны оба. Если элемент не принадлежит ни A, ни B, включать его неоткуда, поэтому в объединение он не попадает. Так правило «хотя бы одному» позволяет решить вопрос для любого элемента.

Объединение записывают с помощью знака ∪ между названиями множеств: A ∪ B. Эту запись читают «объединение множеств A и B». Она не означает, что множества нужно складывать как числа: знак сообщает, что следует собрать все их элементы в одно множество. В ответе элементы принято перечислять в фигурных скобках и не дублировать.

Результат не зависит от того, какое множество записано первым. Если сначала собрать элементы A, а затем добавить элементы B, получится тот же набор, что и при обратном порядке. Поэтому верно равенство A ∪ B = B ∪ A. Это удобно проверять по элементам: в обоих случаях итог содержит одни и те же объекты.

Как определить объединение множеств

Сначала найди, к каким из двух множеств принадлежит рассматриваемый элемент. Затем сверься со второй колонкой: элемент из одного или обоих множеств войдёт в объединение, а элемент вне обоих — нет. Третья колонка показывает, как кратко записать каждый случай.

Разбор задач

Задача 1. Даны множества A = {1, 2} и B = {2, 3}. Записать A ∪ B. Сначала нужно собрать элементы первого множества, затем проверить, какие элементы добавляет второе. Число 2 встречается в обоих наборах, поэтому второй раз его записывать не будем.

1. Выпишем элементы A: 1 и 2.
2. Посмотрим на элементы B: число 2 уже есть, а число 3 новое.
3. Запишем каждый полученный элемент один раз: {1, 2, 3}.

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3}. Проверка: все числа из A и B присутствуют, повторов нет. Значит, объединение составлено по правилу.

Задача 2. Даны множества букв A = {а, б, в} и B = {в, г}. Найти A ∪ B и проверить, принадлежит ли объединению буква г. Буквы из A войдут в ответ, а из B нужно добавить те, которых ещё нет. Затем проверим букву г по правилу принадлежности хотя бы одному множеству.

1. Выпишем буквы множества A: а, б, в.
2. В множестве B есть в и г. Буква в уже записана, добавим только г.
3. Получим объединение {а, б, в, г}; буква г находится в нём и принадлежит B.

Ответ: A ∪ B = {а, б, в, г}; г ∈ A ∪ B. Проверка показывает, что буква г включена не потому, что есть в обоих множествах, а потому, что принадлежит хотя бы одному — в данном случае B. Буква в, напротив, общая, поэтому указана только один раз.

Задача 3. Известно, что A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, а A = {1, 2, 3}. Привести возможный пример множества B. Объединение должно содержать все четыре числа и не содержать ничего постороннего. Числа 1, 2 и 3 уже есть в A, поэтому достаточно добавить в B число 4.

1. Найдём элемент объединения, которого нет в A: это 4.
2. Возьмём B = {4}. Все элементы B входят в заданное объединение.
3. Объединим множества: {1, 2, 3} ∪ {4} = {1, 2, 3, 4}.

Ответ: например, B = {4}. Подойдёт и множество B = {1, 4}, поскольку повтор числа 1 не изменит объединение. Главное — чтобы все элементы B входили в заданный результат, а число 4 вместе с элементами A было получено.

Типичные ошибки

Иногда общий элемент записывают дважды, например получают {1, 2, 2, 3}. Так делают, когда просто переписывают подряд два списка, забывая, что в множестве каждый элемент указывают один раз. Проверь ответ: если одинаковый объект встречается повторно, оставь его только в одном месте. Например, {1, 2, 3} — правильная запись объединения {1, 2} и {2, 3}.

Другая ошибка — включать только общие элементы. Это происходит, когда объединение путают с пересечением: пересечение действительно сохраняет лишь то, что есть в обоих множествах. При объединении нужно проверить, не потерялся ли элемент, принадлежащий только одному множеству. Если потерялся, список не является объединением.

Некоторые считают, что элемент должен принадлежать сразу обоим множествам. Тогда в объединение ошибочно попадают только общие элементы, хотя достаточно принадлежности хотя бы одному множеству. Чтобы проверить себя, найди пример элемента, который есть только в A или только в B, и убедись, что он включён. Например, 1 входит в {1, 2} ∪ {2, 3}, хотя его нет во втором множестве.

Знак ∪ иногда принимают за букву U или за другой математический знак. Из-за этого можно неверно прочитать запись или спутать её смысл. Вспомни, что ∪ стоит между названиями множеств и обозначает объединение; его читают «объединение A и B». Если сомневаешься, проговори запись словами и проверь, что речь идёт о сборе элементов, а не о другой операции.

Связь с другими темами

Перед изучением объединения полезно уметь распознавать множества, перечислять их элементы и проверять принадлежность элемента множеству. Эти навыки нужны, чтобы правильно решить, какие объекты войдут в общий набор. Объединение применяют в задачах, где объекты группируют по разным признакам: например, выбирают тех, кто подходит хотя бы под одно условие. Позже операция над множествами поможет разбирать более сложные задачи и работать с диаграммами, на которых изображают группы и их общие элементы.

Что запомнить

• Объединение содержит элементы обоих множеств.
• В объединение входит элемент, принадлежащий хотя бы одному из множеств.
• Общий элемент включают в объединение только один раз.
• Объединение множеств обозначают знаком ∪.
• Запись A ∪ B читают «объединение множеств A и B».
• A ∪ B = B ∪ A.