Урок 14 Свойства объединения множеств

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Его задают перечислением элементов, например A = {1, 2, 3}, или описанием общего свойства: A — множество однозначных натуральных чисел. Буквами обычно обозначают множества, а сами объекты называют их элементами.

Объединение множеств — множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Объединение A и B записывают так: A ∪ B. Это обозначение помогает собрать в одну группу объекты из двух множеств, не повторяя одинаковые элементы.

Принадлежность множеству показывают записью x ∈ A: она означает, что x является элементом множества A. Запись x ∉ A означает, что x не входит в A. Эти символы нужны, чтобы кратко описывать, какие объекты входят в множество и в объединение.

Пустое множество не содержит ни одного элемента и обозначается символом ∅. Например, множество натуральных чисел, которые меньше 1, можно считать пустым. Пустое множество используют, когда некоторый признак не имеет подходящих объектов.

Как это устроено

Объединение A и B состоит из элементов, которые принадлежат A, B или обоим множествам. Слова «хотя бы одному» означают, что достаточно одного подходящего множества, но принадлежность сразу двум также подходит. Поэтому общий элемент включают в объединение, однако записывают только один раз.

Для проверки элемента используют правило x ∈ A ∪ B тогда и только тогда, когда x ∈ A или x ∈ B. Сначала проверяют, входит ли x в A, затем — входит ли он в B. Если хотя бы одна проверка дала положительный результат, x принадлежит объединению; если обе отрицательные, не принадлежит.

Объединение коммутативно, то есть переместительно: A ∪ B = B ∪ A. Причина в том, что при перестановке множеств условие «принадлежать хотя бы одному» остаётся тем же. Элементы, собранные из A и B, будут ровно теми же, что и элементы, собранные из B и A.

Объединение ассоциативно, то есть сочетательно: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). В левой записи сначала объединяют A и B, а затем добавляют элементы C; в правой сначала объединяют B и C, а затем добавляют элементы A. В обоих случаях в результате оказываются все элементы, принадлежащие хотя бы одному из трёх множеств.

Объединение множества с самим собой не добавляет новых элементов, поэтому A ∪ A = A. Пустое множество тоже ничего не добавляет: A ∪ ∅ = A, поскольку у ∅ нет элементов, которые могли бы попасть в результат. Эти равенства позволяют сокращать записи и быстрее проверять выражения.

Основные свойства объединения множеств

Таблица помогает быстро выбрать нужное свойство при преобразовании выражения. Сначала определите, какие множества объединяются, а затем сравните запись с формулами в среднем столбце. Смысл в последнем столбце позволяет проверить, не применено ли свойство механически.

Разбор задач

Задача 1. Даны A = {1, 2, 4} и B = {2, 3}. Найдём A ∪ B. Нужно собрать все числа, которые встречаются хотя бы в одном из двух множеств, и убрать повтор общего элемента.

1. Выпишем элементы A: 1, 2 и 4.
2. Проверим элементы B: число 2 уже записано, а число 3 новое, поэтому добавим только 3.
3. Получим A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.

Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Число 2 указано один раз, потому что множество не содержит повторяющихся элементов.

Задача 2. A — множество чётных натуральных чисел, B — множество натуральных чисел, кратных 3. Определим, принадлежат ли 12 и 5 множеству A ∪ B. Для каждого числа отдельно проверим два возможных условия.

1. Число 12 чётное, значит, 12 ∈ A; кроме того, 12 делится на 3, значит, 12 ∈ B.
2. Так как 12 принадлежит хотя бы одному множеству, 12 ∈ A ∪ B.
3. Число 5 нечётное и на 3 не делится, поэтому 5 ∉ A и 5 ∉ B.
4. Оба условия не выполнены, значит, 5 ∉ A ∪ B.

Ответ: 12 принадлежит A ∪ B, а 5 не принадлежит A ∪ B. Для объединения достаточно было бы одного положительного результата проверки.

Задача 3. Даны A = {a, b}, B = {b, c}, C = {c, d}. Найдём выражения (A ∪ B) ∪ C и A ∪ (B ∪ C). Сравнение покажет, зависит ли результат от расстановки скобок.

1. Сначала A ∪ B = {a, b, c}; затем (A ∪ B) ∪ C = {a, b, c, d}.
2. Сначала B ∪ C = {b, c, d}; затем A ∪ (B ∪ C) = {a, b, c, d}.
3. В обоих результатах находятся все четыре буквы без повторений.

Ответ: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = {a, b, c, d}. Скобки меняют порядок действий, но не итоговый состав объединения.

Типичные ошибки

Повтор общего элемента. Иногда число, входящее в оба множества, записывают дважды. Так происходит, если просто переписывать списки подряд, не проверяя совпадения. Проверьте каждый новый элемент: если он уже есть в записи, второй раз его не добавляйте.

Требование принадлежности обоим множествам. Ученик может решить, что для объединения элемент обязан входить и в A, и в B. Такая ошибка возникает из-за смешения слов «или» и «и». Спросите себя, есть ли элемент хотя бы в одном множестве: положительного ответа достаточно.

Путаница объединения и пересечения. В объединение включают все подходящие элементы, а не только общие. Ошибка появляется, когда запоминают знак, но забывают смысл операции. Для проверки назовите элементы, которые есть только в одном множестве: в объединении они должны остаться.

Изменение результата из-за порядка. Иногда считают, что A ∪ B и B ∪ A различаются, потому что множества записаны в другом порядке. Но условие принадлежности «хотя бы одному» не меняется. Примените свойство A ∪ B = B ∪ A или выпишите оба результата и сравните состав.

Связь с другими темами

До изучения объединения нужно понимать, что такое множество и элемент, а также пользоваться символами ∈ и ∉. Без этого трудно проверять принадлежность чисел и предметов заданным группам.

Объединение связано с пересечением и дополнением множеств. Вместе эти операции помогают решать задачи на классификацию объектов и переводить логические условия со словами «или», «и» и «не».

Свойства объединения нужны для упрощения выражений с несколькими множествами. Они позволяют менять порядок объединения, убирать повторения и доказывать равенство двух записей.

Что запомнить

• A ∪ B содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A и B.
• x ∈ A ∪ B тогда и только тогда, когда x ∈ A или x ∈ B.
• A ∪ B = B ∪ A.
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
• A ∪ A = A.
• A ∪ ∅ = A.