Урок 15 Сложение и вычитание множеств

Определения и обозначения

Сумма числовых множеств A и B — это множество всех чисел вида a + b, где a ∈ A и b ∈ B; обозначают его A + B. Иными словами, берут число из A, число из B и складывают их. Такое обозначение позволяет собрать в одном множестве все значения, которые можно получить сложением элементов A и B.

Разность числовых множеств A и B — множество всех чисел вида a − b, где a ∈ A и b ∈ B; её обозначают A − B. Это значит, что из выбранного элемента A вычитают выбранный элемент B. Разность нужна, чтобы описать все результаты вычитания чисел из одного множества чисел другого.

Элемент суммы или разности получают, выбирая по одному элементу из каждого исходного множества и выполняя соответствующее действие. Пара чисел для суммы даёт число a + b, а для разности — a − b. Это правило помогает понять, какие именно значения могут войти в результат, и не смешивать его с исходными элементами.

Если несколько разных пар дают одинаковое число, оно входит в итоговое множество только один раз. Например, результат 3 не записывают дважды, даже если его получили разными способами. Это нужно потому, что множество перечисляет элементы, а не количество способов их получения.

Как это устроено

Чтобы построить сумму множеств, перебирают все возможные пары: каждый элемент A соединяют сложением с каждым элементом B. Такой перебор необходим, потому что результат зависит от обоих выбранных чисел, а заранее неизвестно, какая пара даст новое значение. После вычислений полученные суммы объединяют в одно множество, оставляя одинаковые числа в записи один раз.

Для разности используют такой же перебор пар, но выполняют вычитание. Из каждого элемента первого множества вычитают каждый элемент второго, поэтому нужно проверить все сочетания, а не только числа, стоящие рядом в записи множеств. Так образуются все возможные значения a − b, и ни один допустимый результат не теряется.

При разности важно, какое множество стоит первым: оно задаёт уменьшаемое, то есть число, из которого вычитают. Если поменять множества местами, получится b − a вместо a − b; эти числа обычно различаются. Поэтому A − B и B − A в общем случае не равны, хотя отдельные результаты могут совпасть.

Чтобы аккуратно записать ответ, удобно сначала перечислить результаты по парам, а затем убрать повторы. Такой порядок действий помогает не потерять число и не записать его несколько раз. Для проверки полноты можно убедиться, что для каждого элемента A взяты все элементы B; если в A m элементов, а в B n элементов, проверяют m · n пар.

Операции A + B и A − B относятся к числовым элементам: числа складывают или вычитают. Их нельзя смешивать с объединением A ∪ B, где собирают элементы обоих множеств, или с разностью A ∖ B, где из A удаляют элементы, принадлежащие B. Похожие слова здесь обозначают разные действия, поэтому полезно смотреть на то, что именно делают с элементами.

Сложение и вычитание числовых множеств

В таблице сравниваются правила получения элементов и порядок действий для суммы и разности. Строка с примером показывает результаты для одной и той же пары множеств. Используй её, чтобы проверить, что при вычитании первым берётся элемент A, а при совпадении результатов значение не повторяется.

Разбор задач

Задача 1. Найдите A + B, если A = {1, 3}, B = {2}. Элемент 2 нужно сложить с каждым элементом A, поскольку других чисел в B нет. После вычислений проверим, не совпали ли результаты.

1. Составим пары: (1, 2) и (3, 2).
2. Вычислим суммы: 1 + 2 = 3, 3 + 2 = 5.
3. Одинаковых результатов нет, поэтому запишем оба числа в множество.

Ответ: A + B = {3, 5}.

Задача 2. Найдите A − B и B − A, если A = {1, 4}, B = {2, 3}. Здесь нужно выполнить два отдельных перебора: в первом случае уменьшаемое берётся из A, во втором — из B. Это позволяет не перепутать порядок вычитания и увидеть, как он меняет результаты.

1. Для A − B составим пары и вычислим: 1 − 2 = −1, 1 − 3 = −2, 4 − 2 = 2, 4 − 3 = 1.
2. Соберём результаты первого действия: A − B = {−2, −1, 1, 2}.
3. Для B − A поменяем роли множеств: 2 − 1 = 1, 2 − 4 = −2, 3 − 1 = 2, 3 − 4 = −1.
4. Повторы запишем один раз: B − A = {−2, −1, 1, 2}.

Ответ: A − B = {−2, −1, 1, 2}, B − A = {−2, −1, 1, 2}. В этом примере множества результатов совпали, хотя при перестановке множеств так бывает не всегда.

Задача 3. Найдите A + B и A − B, если A = {−2, 0, 2}, B = {−1, 1}, и объясните, почему некоторые значения повторяются. Чтобы ответ был полным, составим результаты для всех 3 · 2 = 6 пар в каждой операции. Совпадение результатов означает, что разные пары дали одно и то же число, а не что при переборе допустили ошибку.

1. Для суммы получаем: −2 + (−1) = −3, −2 + 1 = −1; 0 + (−1) = −1, 0 + 1 = 1; 2 + (−1) = 1, 2 + 1 = 3.
2. Записываем суммы без повторов: A + B = {−3, −1, 1, 3}. Числа −1 и 1 встретились по два раза.
3. Для разности получаем: −2 − (−1) = −1, −2 − 1 = −3; 0 − (−1) = 1, 0 − 1 = −1; 2 − (−1) = 3, 2 − 1 = 1.
4. Убираем повторы: A − B = {−3, −1, 1, 3}. В разности −1 и 1 тоже получены разными парами.

Ответ: A + B = {−3, −1, 1, 3}, A − B = {−3, −1, 1, 3}. Повторения возникают, когда разные пары дают одинаковое значение; множество записывает каждое такое значение единожды.

Типичные ошибки

Путать A − B с разностью множеств A ∖ B — значит выполнять не то действие: в первом случае вычитают числа, во втором удаляют из A элементы, принадлежащие B. Ошибку легко допустить из-за похожих обозначений и слова «разность». Проверь себя вопросом: вычисляю ли я значения a − b или выбираю элементы, которые остаются в A?

Иногда считают только несколько удобных пар, например вычитают один элемент B из одного элемента A. Так происходит, когда забывают, что каждый элемент первого множества нужно сочетать с каждым элементом второго. Для проверки посчитай пары: если в множествах m и n элементов, их должно быть m · n.

При вычислении A − B можно случайно поменять множества местами и получить b − a. Причина часто в том, что при записи пар не отмечают, какое число уменьшаемое. Перед вычислением подпиши, откуда берётся первое число, а затем проверь знак результата на простой паре, например 1 − 2 = −1.

Записывать одно и то же значение несколько раз — ещё одна распространённая ошибка. Она появляется, когда переносят в ответ все вычисления подряд, не проверяя результаты. Сравни числа в итоговой записи: каждое значение должно встречаться только один раз, даже если оно получено несколькими парами.

Связь с другими темами

Для сложения и вычитания множеств нужно уверенно выполнять действия с числами, в том числе с отрицательными. Также важно понимать, что такое множество и его элементы, уметь перечислять их и определять, равны ли два множества. Эти операции помогают описывать все возможные значения выражений и встречаются при изучении числовых множеств. Поэтому навык полного перебора пар пригодится и в других задачах, где нужно собрать все допустимые результаты.

Что запомнить

• A + B состоит из всех сумм a + b, где a ∈ A и b ∈ B.
• A − B состоит из всех разностей a − b, где a ∈ A и b ∈ B.
• При вычитании первым берут элемент из A, вторым — из B.
• Для получения результата рассматривают все пары элементов.
• Одинаковые результаты записывают один раз.
• Сложение и вычитание числовых множеств — не то же самое, что объединение и разность множеств.