Урок 2 Задание множества перечислением и свойством

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, которые рассматривают как единое целое. Например, несколько чисел можно объединить в множество, если нужно изучать их вместе. Каждый объект такой совокупности называют её элементом. Понятие множества помогает собирать объекты по выбранному признаку и рассуждать о них как об одной группе.

Элемент множества — это объект, который принадлежит данному множеству. Знак ∈ читают «принадлежит»: если A = {2, 4, 6}, то 4 ∈ A. Знак ∉ читают «не принадлежит», поэтому 5 ∉ A. Эти обозначения позволяют кратко сообщить, входит ли объект в рассматриваемую группу.

Задание множества перечислением — это запись, в которой указаны все элементы множества. Элементы помещают в фигурные скобки, например {а, е, и}. Такой способ понятен, потому что каждый элемент виден прямо в записи. Он особенно полезен, когда элементов немного и можно убедиться, что перечислены все.

Задание множества свойством — это описание множества через общее условие, которому должны удовлетворять его элементы. Например, можно указать, что рассматриваются натуральные числа, меньшие 5. Тогда множество определяется не длинным списком, а правилом отбора. Чтобы запись была однозначной, нужно понимать, среди каких объектов выбирают элементы.

Как это устроено

При перечислении элементы заключают в фигурные скобки и отделяют друг от друга запятыми: {1, 2, 3}. Фигурные скобки показывают, где начинается и заканчивается запись множества, поэтому круглые скобки для этой цели не используют. Порядок элементов не задаёт их важность: {1, 2, 3} и {3, 2, 1} содержат одни и те же объекты. Повтор тоже не создаёт новый элемент, так что {1, 1, 2} совпадает с {1, 2}.

Перечислять удобно, если множество небольшое и конечное: например, можно выписать все дни недели, начинающиеся на определённую букву. Но для очень большого множества список получится длинным и в нём легко пропустить элемент. Для бесконечного множества перечисление вообще нельзя закончить. В таких случаях правило отбора сообщает состав множества короче и яснее.

Чтобы задать множество свойством, сначала называют область, из которой выбирают элементы, а затем формулируют условие. Например, среди целых чисел можно выбрать те, которые больше −2 и меньше 3. Область нужна потому, что одно условие может относиться к числам, буквам или другим объектам и приводить к разным результатам. Условие должно позволять однозначно решить для каждого рассматриваемого объекта, подходит он или нет.

Перейдём от перечисления к свойству на множестве чётных чисел от 2 до 10: {2, 4, 6, 8, 10}. Все элементы — натуральные чётные числа, причём каждое не меньше 2 и не больше 10. Поэтому множество можно описать как натуральные числа x, для которых 2 ≤ x ≤ 10 и x чётное. В обратную сторону проверяем натуральные числа в этих границах: подходят 2, 4, 6, 8 и 10, значит, получаем исходное перечисление.

При проверке принадлежности множества, заданному свойством, выбранный объект подставляют вместо переменной. Затем проверяют каждую часть условия: например, является ли число целым и выполняет ли оно заданные неравенства. Если все требования выполнены, объект принадлежит множеству; если хотя бы одно нарушено — не принадлежит. Такой способ проверки помогает не полагаться на догадку и точно объяснить ответ.

Способы задания множества

Сначала посмотрите, дана ли готовая запись элементов или правило отбора: это подскажет способ задания. Затем проверьте, названа ли область выбора и можно ли однозначно определить принадлежность. Если множество небольшое, полезно перевести свойство в перечисление и сверить оба описания.

Разбор задач

Дни недели на букву «с»

Условие. Запишите перечислением множество дней недели, названия которых начинаются на букву «с». Нужно проверить каждый день, а не ограничиваться первым подходящим примером.

1. Выпишем названия дней недели: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.
2. Сравним первую букву каждого названия с буквой «с». Подходят среда и суббота.
3. Заключим найденные названия в фигурные скобки; повторов нет, поэтому оба элемента записываем по одному разу.

Ответ: {среда, суббота}. Перебирать все дни полезно, чтобы не пропустить подходящий вариант. Порядок двух элементов можно поменять — множество от этого не изменится.

Нечётные числа

Условие. Задайте свойством множество чисел 1, 3, 5, 7, 9. Требуется найти общий признак и определить, среди каких чисел его применяем.

1. Заметим, что каждый элемент — натуральное нечётное число.
2. Уточним границы: все записанные числа не меньше 1 и не больше 9.
3. Объединим признаки: берём натуральные числа x от 1 до 9 включительно, которые нечётные.

Ответ: множество натуральных нечётных чисел от 1 до 9 включительно. Одна только фраза «нечётные числа» была бы слишком широкой: она не указывала бы ни область выбора, ни границы исходного списка. В найденном свойстве учтены все пять элементов и не добавлены другие.

Целые числа в заданном промежутке

Условие. A = {x ∈ ℤ | −3 ≤ x < 2}. Запишите множество перечислением и выясните, принадлежат ли ему −3, 0 и 2. Символ ℤ означает множество целых чисел, а запись после вертикальной черты задаёт условие для x.

1. Выпишем целые числа, начиная с −3, потому что граница −3 включена: −3, −2, −1, 0, 1.
2. Следующее целое число — 2, но условие требует x < 2, поэтому его включать нельзя.
3. Проверим предложенные числа: −3 удовлетворяет обеим границам, 0 также между ними, а 2 не меньше самого себя и потому не удовлетворяет строгому условию x < 2.

Ответ: A = {−3, −2, −1, 0, 1}; −3 ∈ A, 0 ∈ A, 2 ∉ A. Проверка границ особенно важна: знак ≤ включает граничное число, а знак < — нет. Так можно объяснить и список элементов, и каждое решение о принадлежности.

Типичные ошибки

Иногда множество записывают в круглых или квадратных скобках, например [1, 2, 3]. Вероятная причина — привычка к скобкам из других математических записей, но для перечисления элементов используют фигурные скобки. Проверьте себя: если вы именно задаёте множество списком, запись должна выглядеть как {1, 2, 3}. Не смешивайте её с обозначением промежутка или упорядоченной пары.

Некоторые считают, что порядок элементов важен, и воспринимают {1, 2, 3} и {3, 2, 1} как разные множества. Так происходит из-за привычки читать список слева направо, хотя множество не задаёт порядок. Сверьте состав записей: если в обеих встречаются одни и те же элементы, множества совпадают. При проверке не сравнивайте позиции, а сравнивайте сами элементы.

Повторяя элемент, можно ошибочно подумать, что он образует ещё один элемент множества: например, будто {2, 2, 4} содержит два разных элемента со значением 2. Повтор часто возникает при переносе данных из списка, где дубли могут иметь значение. В множестве учитывают, входит ли объект, а не сколько раз его написали. Уберите дубли и проверьте, что набор различных элементов остался прежним.

Если задать свойство без области выбора, описание может оказаться неоднозначным. Например, «числа, большие 2» может относиться к натуральным, целым или вещественным числам, а результаты будут различаться. Ошибку допускают, когда считают, что контекст всем очевиден. Проверьте формулировку вопросом «из каких объектов выбираем?» и укажите область явно, например «из целых чисел».

Связь с другими темами

Для работы с множествами нужно уметь различать сами объекты и замечать их общие признаки: это помогает составлять условие отбора. Также полезно читать простые неравенства, потому что знаки <, >, ≤ и ≥ определяют, какие значения подходят, а какие нет. Позже множества будут использоваться при изучении числовых множеств и записи решений уравнений и неравенств. Похожим способом описывают области допустимых значений — значения, которые разрешено подставлять в выражение.

Что запомнить

• Элементы множества записывают в фигурных скобках.
• При перечислении элементы разделяют запятыми.
• Порядок элементов в записи множества не важен.
• Повторение элемента не меняет множество.
• Свойство множества должно точно определять, какие объекты в него входят.
• При задании множества свойством важно указать область выбора элементов.