Урок 3 Равные множества. Пустое множество

Определения и обозначения

Множество — это совокупность объектов, которую рассматривают как единое целое. Каждый объект, входящий в множество, называют его элементом. Например, в множестве {2, 4, 6} элементами являются числа 2, 4 и 6. Понятие множества помогает объединять объекты по общему признаку и рассуждать об их составе.

Множества равны, если состоят из одних и тех же элементов. Это означает, что любой элемент первого множества есть во втором, а любой элемент второго — в первом. Например, {1, 2} и {2, 1} равны, потому что в них входят числа 1 и 2. Такое определение позволяет сравнивать составы, не обращая внимания на способ записи.

Пустое множество — это множество, в котором нет ни одного элемента. Его обозначают специальным символом ∅. Например, если условию не отвечает ни один объект, полученное множество будет пустым. Это обозначение нужно, чтобы кратко записать результат, а не перечислять несуществующие элементы.

Множество обычно записывают в фигурных скобках: {3, 5, 7}. Знак ∈ читают «принадлежит», а ∉ — «не принадлежит»: например, 5 ∈ {3, 5, 7}, но 4 ∉ {3, 5, 7}. Для пустого множества верно x ∉ ∅ при любом объекте x. Эти знаки показывают, входит ли конкретный объект в указанный состав.

Как это устроено

Множество можно задать перечислением элементов или условием, которому они должны удовлетворять. Перечисление удобно, когда состав небольшой и все элементы известны: например, {2, 4, 6}. Условие помогает описать множество, не выписывая сразу все элементы: можно сказать, что в него входят натуральные числа меньше 4. Тогда, чтобы понять состав, нужно проверить подходящие объекты по этому условию.

Чтобы проверить равенство двух множеств, сравнивают именно их элементы. Например, у множеств {2, 4, 6} и {2, 4, 8} есть общие числа 2 и 4, но число 6 отсутствует во втором, а 8 — в первом. Поэтому их составы не совпадают и множества не равны. Проверка каждого элемента в обе стороны нужна потому, что совпадения только части элементов недостаточно.

Порядок перечисления элементов не влияет на множество, поскольку его определяет состав, а не последовательность записи. Поэтому {1, 2, 3} и {3, 1, 2} задают одни и те же числа. При сравнении таких записей удобно отмечать, что все элементы одной встречаются в другой, даже если расположены иначе. Так можно не принять перестановку за изменение множества.

Пустое множество возникает, когда условию не удовлетворяет ни один объект из рассматриваемой области. Например, среди натуральных чисел нет чисел, меньших 1: наименьшее натуральное число — 1. Значит, множество натуральных чисел, меньших 1, не содержит элементов и обозначается ∅. Сначала важно определить, какие именно объекты проверяются, а затем выяснить, есть ли среди них подходящие.

В пустом множестве нет элементов, поэтому ни один объект не может ему принадлежать. Запись x ∈ ∅ означала бы, что x входит в множество, хотя в нём ничего нет; это противоречие. Следовательно, для любого объекта x верно x ∉ ∅. Такая проверка помогает не смешивать пустое множество с множеством, в котором просто мало элементов.

Как различать множества и их элементы

Сначала определите, что именно записано: множество целиком или отдельный его элемент. Затем проверьте, совпадает ли состав множеств, а для знаков ∈ и ∉ выясните, входит ли названный объект в множество. Помните, что ∅ обозначает множество без элементов, а не число или отдельный элемент.

Разбор задач

Задача 1. Даны множества A = {2, 4, 6} и B = {6, 2, 4}. Определите, равны ли они.

1. Выпишем элементы A: это 2, 4 и 6.
2. Проверим, есть ли все они в B: числа 2, 4 и 6 там присутствуют.
3. Проверим в обратную сторону: каждый элемент B, то есть 6, 2 и 4, есть в A. Значит, составы множеств совпадают.

Ответ: A = B. Элементы перечислены в разном порядке, но порядок не меняет состав множества.

Задача 2. Множество C состоит из натуральных чисел, которые меньше 1. Запишите C и укажите, содержит ли оно элементы.

1. Вспомним, что натуральные числа начинаются с 1.
2. Проверим наименьшее из них: число 1 не меньше 1, а остальные натуральные числа тем более не подходят.
3. Подходящих натуральных чисел нет, поэтому перечислить элементы невозможно; множество записываем символом ∅.

Ответ: C = ∅, элементов оно не содержит. Проверка показывает, что условие не выполняется ни для одного натурального числа.

Задача 3. Даны A = {x | x — натуральное число и x < 4} и B = {1, 2, 3}. Запишите A перечислением и сравните A и B.

1. В записи A условие после вертикальной черты говорит, какие числа нужно включить: натуральные числа меньше 4.
2. Перечислим их: 1, 2 и 3. Число 4 не подходит, потому что оно не меньше 4.
3. Получаем A = {1, 2, 3}. Сравним его с B: элементы обоих множеств — 1, 2 и 3, следовательно, состав совпадает.

Ответ: A = {1, 2, 3}, и A = B. Мы сначала раскрыли условие, а затем применили определение равных множеств.

Типичные ошибки

Можно решить, что {1, 2, 3} и {3, 1, 2} — разные множества, потому что числа стоят не в одном порядке. Так происходит, если воспринимать запись как последовательность. Проверьте себя: сравните составы, а не расположение элементов; здесь в обоих случаях есть 1, 2 и 3.

Иногда повтор числа считают новым элементом и полагают, что {1, 1, 2} отличается от {1, 2}. Повторная запись не меняет того, какие именно элементы входят в множество. Чтобы проверить себя, выпишите разные элементы без повторов: в обоих случаях получится 1 и 2.

Пустое множество путают с множеством {0}, потому что в записи с нулём может казаться, будто «ничего нет». Но {0} содержит элемент — число 0, а ∅ не содержит ни одного элемента. Проверка проста: спросите, можно ли назвать объект внутри фигурных скобок; в {0} это 0, в ∅ такого объекта нет.

Ещё одна ошибка — записывать, что какой-либо объект принадлежит ∅. Её допускают, забывая смысл слова «пустое»: в таком множестве нет ни одного элемента. Проверьте запись по определению: утверждение x ∈ ∅ противоречит отсутствию элементов, поэтому правильно писать x ∉ ∅.

Связь с другими темами

Чтобы находить элементы множества, нужно понимать, какие объекты рассматриваются и по какому условию их выбирают. Например, в условии о натуральных числах сначала определяют область — натуральные числа, — затем проверяют каждое требование. Это умение помогает переводить описание множества в перечисление и замечать, если подходящих объектов нет.

Равенство множеств и обозначения принадлежности понадобятся при изучении подмножеств и операций над множествами. С их помощью можно точно выяснять, какие элементы входят в рассматриваемую совокупность и совпадают ли два её описания. Они также полезны в задачах, где объекты отбирают по нескольким условиям.

Что запомнить

• Множество состоит из элементов.
• Равные множества содержат одни и те же элементы.
• Порядок перечисления элементов не важен.
• Повторная запись элемента не меняет множество.
• Пустое множество не содержит элементов.
• Пустое множество обозначают символом ∅.
• Множество {0} не является пустым.