Уроки 4 — 5 Диаграмма Венна. Знаки ∈ и ∉

Определения и обозначения

Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Например, числа 1, 2 и 3 можно объединить в множество A = {1, 2, 3}. Объекты, входящие в множество, называются его элементами, поэтому это понятие помогает описывать группы предметов коротко и точно.

Элемент множества — объект, принадлежащий данному множеству. Элементом может быть число, геометрическая фигура, буква или другой объект. Когда мы называем элемент, то указываем, какой именно объект входит в рассматриваемую группу.

Знаки ∈ и ∉ обозначают принадлежность и непринадлежность элемента множеству. Запись a ∈ A читается «а принадлежит множеству А», а b ∉ A — «б не принадлежит множеству А». Эти знаки позволяют кратко записать, входит объект в множество или нет.

Диаграмма Венна — наглядное изображение множеств с помощью замкнутых областей, например кругов. Точки, числа или другие объекты внутри области являются элементами соответствующего множества. Если области пересекаются, их общая часть показывает элементы, которые принадлежат обоим множествам.

Как это устроено

Множество обозначают заглавной буквой, например A, а его элементы перечисляют в фигурных скобках: A = {2, 5, 8}. Такое различие нужно потому, что множество является целой группой, а число 2 — только одним объектом из неё. Поэтому запись 2 ∈ A сообщает о числе и его отношении к множеству, а не о равенстве числа и множества.

Запись x ∈ A читают «икс принадлежит множеству А». Знак ∈ ставят между конкретным элементом x и множеством A, чтобы показать: сначала назван объект, затем группа, в которую он входит. Например, из A = {1, 4, 7} следует 4 ∈ A, потому что число 4 есть в списке элементов.

Если объект не входит в множество, используют знак ∉: x ∉ A. Он отличается от записи о другом множестве: утверждение 6 ∉ A говорит именно о числе 6 и множестве A, а не о том, что какое-то множество не входит в A. Проверку проводят по списку элементов: если объекта там нет, выбирают знак ∉.

На диаграмме Венна множество изображают замкнутой областью, чаще всего кругом с подписью A. Все объекты, расположенные внутри границы этого круга, считают элементами A, а объекты за границей — не считают. Такое изображение удобно, потому что принадлежность определяется не длинным перечислением, а положением объекта.

Когда два круга пересекаются, общая часть принадлежит сразу двум областям. Поэтому объект в пересечении удовлетворяет двум утверждениям: он принадлежит A и принадлежит B. Объект только в круге A относится к A, но не к B, а объект вне обоих кругов не принадлежит ни одному из них.

Знаки принадлежности элемента множеству

Пользуясь таблицей, сначала найдите конкретный объект слева от знака, а затем проверьте его наличие в множестве справа. Если объект есть среди элементов, выбирайте ∈, если его нет — ∉. Нельзя менять местами элемент и множество: запись должна показывать, кому принадлежит объект.

Разбор задач

Задача 1

Дано множество A = {2, 5, 8}. Нужно записать, что 5 входит в A, а 6 не входит в A. Для каждого числа проверим список элементов отдельно.

1. Число 5 есть в записи A = {2, 5, 8}, поэтому между 5 и A ставим знак ∈.
2. Числа 6 в списке нет, поэтому между 6 и A ставим знак ∉.
3. Получаем две записи: 5 ∈ A и 6 ∉ A.

Ответ: 5 ∈ A, 6 ∉ A. Знаки выбраны по фактическому наличию чисел в множестве.

Задача 2

В круге A находятся числа 1, 3 и 5, а вне круга — 2 и 4. Нужно определить истинность трёх записей: 3 ∈ A, 4 ∈ A и 2 ∉ A. Для этого достаточно сравнить положение каждого числа с границей круга.

1. Число 3 находится внутри круга, значит, 3 ∈ A — верная запись.
2. Число 4 расположено вне круга, поэтому 4 ∈ A — неверная запись; верно 4 ∉ A.
3. Число 2 также находится вне круга, следовательно, 2 ∉ A — верная запись.

Ответ: 3 ∈ A и 2 ∉ A — верны, а 4 ∈ A — неверна. Число 4 не принадлежит A.

Задача 3

Два круга A и B пересекаются. Числа 2 и 6 лежат в общей части, число 4 — только в A, а число 9 — только в B. Для каждого числа нужно установить принадлежность обоим множествам.

1. Числа 2 и 6 находятся в пересечении, поэтому 2 ∈ A, 2 ∈ B, 6 ∈ A и 6 ∈ B.
2. Число 4 лежит только в круге A, значит, 4 ∈ A и 4 ∉ B.
3. Число 9 лежит только в круге B, поэтому 9 ∉ A и 9 ∈ B.

Ответ: 2 и 6 принадлежат A и B; 4 принадлежит A, но не принадлежит B; 9 принадлежит B, но не принадлежит A. Пересечение учитывается сразу для обоих множеств.

Типичные ошибки

Путать элемент и множество. В записи 3 ∈ A числом 3 является элемент, а A — всё множество. Ошибку допускают, когда воспринимают обе записи как объекты одного вида; проверьте, можно ли найти число 3 среди элементов A.

Ставить знак ∈ без проверки. Иногда знак выбирают по догадке, не сверяясь со списком или диаграммой. Сначала найдите объект глазами, а затем решите, есть ли он среди элементов или внутри нужной области.

Считать объект вне круга элементом. Такое происходит, если не замечают границу области множества. Проведите мысленную линию по контуру: элемент должен находиться внутри круга, а не рядом с ним или за его пределами.

Не учитывать пересечение кругов. Объект в общей части ошибочно относят только к одному кругу. Проверьте его положение относительно каждой границы: если он внутри обеих, то принадлежит обоим множествам.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь различать отдельные объекты и группы объектов, перечислять элементы множества и сравнивать их. Эти навыки помогают правильно читать запись и выбирать знак принадлежности.

Диаграммы Венна и знаки ∈ и ∉ пригодятся при изучении операций над множествами, логических высказываний и классификации объектов. С их помощью удобно находить общие признаки и проверять истинность утверждений.

Что запомнить

• Объекты, входящие в множество, называются его элементами.
• Запись a ∈ A означает, что a — элемент множества A.
• Запись a ∉ A означает, что a не является элементом A.
• Круг или другая замкнутая область на диаграмме изображает множество.
• Элемент внутри области принадлежит соответствующему множеству.
• Элемент в общей части двух областей принадлежит обоим множествам.