"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Умножение на 10, 100 и 1000 связано с переходом цифр числа в более высокие разряды. При умножении на 10 цифры сдвигаются на один разряд влево, на 100 — на два, на 1000 — на три. Поэтому справа к натуральному числу приписывают один, два или три нуля. Правило помогает быстро считать устно и письменно, решать задачи с крупными числами и проверять ответы делением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разрядная единица — единица, десяток, сотня или тысяча, показывающая значение цифры в записи числа. Например, цифра 4 в числе 452 обозначает 4 сотни, а цифра 2 — 2 единицы. Это понятие нужно, чтобы видеть не только сами цифры, но и их место в числе.
Умножение на 10 — увеличение числа в 10 раз с переходом каждой его цифры в следующий разряд. Единицы становятся десятками, десятки — сотнями, сотни — тысячами. Такое правило помогает быстро находить произведение без сложного письменного умножения.
Умножение на 100 — увеличение числа в 100 раз с переходом каждой его цифры на два разряда влево. Например, единицы переходят в сотни, а десятки — в тысячи. Понимание этого сдвига объясняет появление двух нулей справа от натурального числа.
Умножение на 1000 — увеличение числа в 1000 раз с переходом каждой его цифры на три разряда влево. При этом единицы становятся тысячами, десятки — десятками тысяч. Определение нужно, чтобы связывать три добавляемых нуля с изменением разрядов, а не запоминать правило механически.
В десятичной системе каждый следующий разряд в 10 раз больше предыдущего. Поэтому при умножении числа на 10 значение каждой его цифры становится в 10 раз больше: 3 единицы превращаются в 3 десятка, а 7 десятков — в 7 сотен. Цифры как будто сдвигаются на одну клетку влево, а справа появляется свободный разряд единиц, который записывают нулём.
Умножение на 100 можно выполнить как два последовательных умножения на 10. Сначала каждая цифра переходит на один разряд влево, затем ещё на один, поэтому общий сдвиг составляет два разряда. Например, 42 · 100 = (42 · 10) · 10 = 420 · 10 = 4200, то есть справа добавляются два нуля.
Множитель 1000 состоит из трёх разрядных десятков: 1000 = 10 · 10 · 10. Значит, умножение на 1000 выполняется как три последовательных сдвига цифр влево. После каждого сдвига освобождается один разряд справа, поэтому в записи результата появляются три нуля.
Разрядная таблица показывает причину правила. Если записать 37 как 3 десятка и 7 единиц, то после умножения на 10 получатся 3 сотни и 7 десятков: 370; при умножении на 100 — 3 тысячи и 7 сотен: 3700. Устно достаточно посчитать нули в множителе и приписать их справа, а письменно полезно представить сдвиг по разрядам. Проверить результат можно делением: 3700 : 100 = 37.
| Множитель | Сдвиг цифр по разрядам | Количество добавляемых нулей | Пример |
|---|---|---|---|
| 10 | Переход каждой цифры на один разряд влево | 1 | 37 · 10 = 370 |
В таблице сначала находят множитель, затем смотрят, на сколько разрядов перемещаются цифры. Число нулей в множителе показывает, сколько нулей нужно приписать справа к натуральному числу. Если в множимом уже есть нули, их сохраняют и добавляют только нули, связанные с множителем.
Нужно увеличить число 46 в 10 раз. Множитель 10 содержит один нуль, значит, цифры числа должны перейти на один разряд влево. Поэтому к записи 46 справа приписываем один нуль.
Ответ: 460.
Число 305 умножается на 100, поэтому цифры переходят на два разряда влево. Нуль между цифрами нельзя убирать: он показывает отсутствие десятков. Удобно выполнить действие двумя умножениями на 10.
Ответ: 30 500.
На склад привезли 24 коробки, в каждой коробке по 100 карандашей. Чтобы узнать общее количество, нужно одинаковое число карандашей в одной коробке умножить на число коробок. Получаем выражение 24 · 100.
Ответ: 2400 карандашей.
Неправильное количество нулей. Иногда к числу приписывают один нуль при умножении на 100 или три при умножении на 10. Ошибка возникает, если не связать число нулей в множителе с числом разрядных переходов; проверьте множитель перед вычислением.
Удаление нулей внутри числа. В записи 305 нуль обозначает разряд десятков, поэтому удалять его нельзя. Такая ошибка появляется из-за ошибочного представления о нуле как о лишнем знаке; разложите число по разрядам и сравните результат с ним.
Замена умножения прибавлением. Выражение 24 · 100 означает 24 сотни, а не 24 + 100. Если результат не стал в 100 раз больше 24, действие понято неверно; полезно оценить ответ до вычисления.
Неверный сдвиг цифр. В многозначном числе легко потерять или добавить разряд. Запишите число в разрядной таблице либо выполните последовательное умножение на 10, а затем разделите ответ на множитель для проверки.
До изучения правила нужно уметь определять разрядный состав многозначных чисел, понимать значение каждой цифры и пользоваться таблицей умножения. Без этого трудно объяснить, почему цифра меняет значение при переходе в другой разряд.
Тема опирается на десятичную систему счисления: соседние разряды отличаются в 10 раз. Поэтому умножение на 100 и 1000 удобно понимать как два или три последовательных умножения на 10.
Правило пригодится при переводе единиц величин, работе с крупными числами и делении на 10, 100, 1000. Оно помогает быстро решать практические задачи и контролировать вычисления обратным действием.
Почему при умножении на 10 нужно приписывать именно один нуль?
Каждая цифра числа при умножении на 10 переходит на один разряд влево: единицы становятся десятками, десятки — сотнями. Освободившийся разряд единиц обозначается нулём, поэтому справа появляется один нуль.
Что делать, если в самом числе уже есть нули?
Нули внутри числа сохраняют, потому что они обозначают пропущенные разряды. Затем справа приписывают столько новых нулей, сколько их в множителе: один, два или три.
Можно ли умножение на 100 заменить двумя умножениями на 10?
Да, умножение на 100 равносильно двум последовательным умножениям на 10. Например, 24 · 100 = (24 · 10) · 10 = 240 · 10 = 2400.
Почему результат умножения на 1000 не может быть меньше исходного числа?
Множитель 1000 больше единицы, поэтому произведение увеличивается в 1000 раз. Для натурального числа результат будет больше исходного, а справа появятся три нуля.
Как проверить вычисление умножением на 10, 100 или 1000?
Можно разделить полученное произведение на тот же множитель. Если при делении на 10, 100 или 1000 снова получается исходное число, вычисление выполнено верно.
Урок 26 Умножение на 10, 100, 1000
