"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Многозначное число состоит из нескольких цифр, и каждая цифра в нём показывает количество единиц определённого разряда. Например, одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки или тысячи — это зависит от её места. Разряды объединяют в классы по три, чтобы удобнее читать большие числа. Знание разрядов и классов помогает записывать числа словами и цифрами, раскладывать их на слагаемые и сравнивать без ошибок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, в записи которого больше одной цифры. Однозначные числа записываются одной цифрой, а многозначные — двумя или более; например, 8 — однозначное, а 38 — многозначное. Это различие помогает понять, сколько разрядов занимает запись числа.
Разряд числа — место цифры в записи, определяющее её значение. Справа налево идут единицы, десятки, сотни, тысячи и другие разряды: так, в числе 352 цифра 5 стоит в разряде десятков и означает пять десятков. Разряды нужны, чтобы не путать цифру с количеством, которое она обозначает.
Класс числа — группа из трёх разрядов, если считать запись справа налево. Классы называют классом единиц, тысяч, миллионов, миллиардов и далее; например, в записи 12 345 есть класс тысяч и класс единиц. Такое деление облегчает чтение и запись больших чисел.
Разрядная единица — единица, десяток, сотня и т. д., соответствующая определённому разряду. Цифра показывает, сколько таких единиц содержится в разряде: цифра 6 в разряде сотен означает 6 сотен, то есть 600. Поэтому, чтобы определить значение цифры, нужно учитывать не только её саму, но и разряд.
В десятичной записи значение цифры определяется и её самой, и местом. Каждый следующий разряд слева содержит в десять раз больше единиц, чем соседний разряд справа: десяток равен десяти единицам, сотня — десяти десяткам. Поэтому цифра 3 в числе 3, 30 и 300 означает соответственно три единицы, три десятка и три сотни. Если смотреть только на цифры, не учитывая их места, значения числа не понять.
Разряды объединяют в классы по три, отсчитывая справа налево. Первые три разряда — единицы, десятки и сотни — составляют класс единиц; следующие три образуют класс тысяч, затем идут классы миллионов и миллиардов. При чтении числа это деление позволяет видеть крупные группы и не сбиваться в длинной цепочке цифр. Слева может остаться класс менее чем из трёх цифр — это нормально.
Любое многозначное число можно представить как сумму значений его цифр по разрядам. Например, 4 305 — это 4 тысячи, 3 сотни, 0 десятков и 5 единиц, то есть 4 000 + 300 + 5. Слагаемое 0 десятков можно не писать, потому что оно не меняет сумму. Чтобы восстановить число по сумме, каждое слагаемое ставят в соответствующий разряд, а пустые разряды заполняют нулями.
Число читают слева направо, называя ненулевые классы и число единиц в каждом из них. Внутри класса учитывают сотни, десятки и единицы, а название класса добавляют после него, кроме класса единиц. Например, 25 014 читают: «двадцать пять тысяч четырнадцать». Если разряд или целый класс отсутствует, при записи цифрами его место сохраняют нулём; при чтении нулевой класс обычно не называют.
Сравнивать числа удобно, начиная с самой значимой части. Если в одном числе цифр больше, оно больше: например, любое четырёхзначное натуральное число больше любого трёхзначного. Когда цифр поровну, сравнивают соответствующие разряды слева направо, потому что именно слева находятся сотни, тысячи и другие более крупные единицы. При первом различии больше то число, у которого цифра в этом разряде больше; дальнейшие цифры уже не меняют результат.
| Разряд | Класс миллиардов | Класс миллионов | Класс тысяч | Класс единиц |
|---|---|---|---|---|
| Третий разряд класса | Сотни миллиардов | Сотни миллионов | Сотни тысяч | Сотни |
| Второй разряд класса | Десятки миллиардов | Десятки миллионов | Десятки тысяч | Десятки |
| Первый разряд класса | Единицы миллиардов | Единицы миллионов | Единицы тысяч | Единицы |
В каждом классе первый разряд справа — единицы этого класса, второй — десятки, третий — сотни. Чтобы прочитать запись, мысленно раздели её справа на группы по три цифры и найди для цифр нужные разряды. Например, в классе тысяч цифры обозначают тысячи, десятки тысяч и сотни тысяч.
Сначала отделим класс единиц от класса тысяч: число состоит из 4 тысяч и 305 единиц. Затем определим значение каждой цифры, учитывая её разряд. Нулевой разряд десятков не даёт слагаемого, но сохраняет место цифры 5.
Цифра 4 стоит в разряде единиц тысяч, поэтому её значение равно 4 000. Цифра 3 обозначает три сотни, то есть 300. Цифра 0 означает отсутствие десятков, а 5 — пять единиц.
Записываем ненулевые разрядные слагаемые: 4 305 = 4 000 + 300 + 5. Нулевое слагаемое 0 десятков можно опустить, так как при сложении оно ничего не меняет. Проверяем, что в записи числа между 3 сотнями и 5 единицами остался ноль.
Читаем число по классам: в классе тысяч — четыре тысячи, в классе единиц — триста пять. Получаем: «четыре тысячи триста пять». Ноль десятков отдельно не произносят.
Ответ: 4 000 + 300 + 5; «четыре тысячи триста пять».
Слова называют три класса: миллионов, тысяч и единиц. В классе миллионов записываем 7, а в классе тысяч — 42 тысячи, то есть группу из трёх цифр 042. В классе единиц есть только 9, поэтому его группа будет 009.
Записываем классы слева направо: миллионы, тысячи, единицы. Для миллионов ставим 7, потому что сказано «семь миллионов». Между классами оставляем группы по три цифры.
«Сорок две тысячи» — это 42 тысячи, значит, группа тысяч записывается как 042. Ноль в начале этой группы показывает, что в ней нет сотен тысяч. «Девять» в классе единиц записывается группой 009, поскольку сотен и десятков нет.
Объединяем группы: 7 | 042 | 009, получаем 7 042 009. Проверяем чтение: семь миллионов, сорок две тысячи, девять. Нули оставлены на местах пропущенных разрядов.
Ответ: 7 042 009.
В обоих числах по шесть цифр, поэтому по количеству разрядов они не отличаются. Сравним цифры слева направо: сотни тысяч, десятки тысяч и тысячи совпадают. Нужно продолжить до первого разряда, в котором цифры различаются.
Сравниваем первые три цифры: в обоих числах это 508 тысяч. Значит, части до разряда тысяч равны и пока определить большее число нельзя. Переходим к сотням.
В разряде сотен стоят цифры 3 и 3, они тоже совпадают. В разряде десятков у первого числа стоит 0, а у второго — 4. Первое различие найдено именно здесь.
Так как 0 десятков меньше 4 десятков, первое число меньше второго. Единицы уже не влияют на результат: более крупные разряды до десятков были одинаковыми. Получаем 508 304 < 508 340.
Ответ: 508 304 < 508 340.
Ошибка: считать, что цифра всегда обозначает одно и то же количество. Так думают, когда замечают саму цифру, но не её место: например, принимают 5 в числе 50 за пять единиц. Проверь себя, назвав разряд цифры и умножив её на соответствующую разрядную единицу. В 50 цифра 5 означает пять десятков, то есть 50.
Ошибка: пропускать нули при записи числа словами. Ноль легко принять за ненужный знак, ведь сам по себе он не добавляет единиц. Но он сохраняет позиции остальных цифр: 7 009 — не то же самое, что 79. Проверь, что в каждой группе из трёх цифр записаны все разряды, даже если некоторые из них нулевые.
Ошибка: делить запись на классы слева направо. Так поступают, потому что привычно начинать чтение слева, но длина левой группы может быть разной. Классы всегда выделяют справа налево по три цифры, и только потом читают слева направо. Для проверки отдели последние три цифры, затем следующие три.
Ошибка: сравнивать числа по отдельным цифрам без учёта разрядов. Можно заметить одинаковую цифру или начать с конца, хотя решающими бывают старшие разряды. Сначала сравни количество цифр, а при равенстве — соответствующие разряды слева направо. Остановись на первом различии и проверь, что сравниваешь цифры одного и того же разряда.
Для работы с многозначными числами нужно знать цифры десятичной системы счисления и состав числа. Также полезно уметь раскладывать единицы на десятки, десятки на сотни и понимать разрядный состав числа. Эти знания помогают определять значение каждой цифры.
Разрядная запись нужна при сложении, вычитании, умножении и делении столбиком. Например, при вычислениях важно правильно поставить цифры друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками. Ошибка в разряде меняет результат.
Чтение и сравнение чисел пригодятся при изучении натуральных чисел, округления и решении текстовых задач. По записи можно оценить размер числа и понять, какие величины сравниваются. Умение видеть классы помогает не ошибиться в длинных числах.
Почему одна и та же цифра в числе может обозначать разные количества?
Потому что значение цифры зависит от её места — разряда. Например, цифра 5 в числе 5 обозначает пять единиц, а в числе 50 — пять десятков.
Как быстро определить, сколько классов в записи числа?
Раздели запись справа налево на группы по три цифры. Число классов равно количеству получившихся групп, включая неполную левую группу.
Зачем нужны нули внутри многозначного числа?
Нули показывают, что в соответствующих разрядах нет единиц. Они сохраняют места других цифр: без нуля число может получить совсем другое значение.
Как записать число словами, если в одном из классов нет единиц?
Класс, в котором все цифры нулевые, обычно не называют. Например, число 7 000 009 читают: «семь миллионов девять».
Почему при сравнении чисел начинают с цифр слева?
В записи слева стоят старшие разряды, которые определяют наибольшую часть числа. Если первые цифры совпали, переходят к следующему разряду, пока не найдут различие.
Уроки 18 — 25 Многозначные числа
