"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое обозначают буквой. Нужно найти такое значение неизвестного, чтобы равенство стало верным. Это значение называют корнем уравнения. Для решения используют действия, обратные данным: сложению противопоставляют вычитание, умножению — деление. Уравнения помогают находить неизвестные величины в вычислениях и текстовых задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Например, x + 7 = 12 — уравнение с неизвестным x. Оно нужно, чтобы записать условие задачи и найти величину, которая не дана сразу.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством. В уравнении x + 7 = 12 корнем будет 5, потому что 5 + 7 = 12. Понятие корня помогает отличить правильное найденное значение от случайного числа.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Для этого преобразуют уравнение так, чтобы неизвестное осталось одно, а затем находят его значение. Результат решения обязательно связывают с исходным равенством.
Неизвестное — число, значение которого требуется найти. Обычно его обозначают буквами x, y или другими латинскими буквами. Обозначение позволяет заменить неизвестную величину числом только после выполнения рассуждений.
Обычное числовое равенство, например 8 + 4 = 12, сразу можно проверить вычислением. В уравнении одна часть содержит неизвестное, поэтому сначала нельзя просто установить истинность равенства. Буква нужна как условное обозначение числа, которое пока неизвестно, но должно быть связано с другими данными.
Корень можно искать подбором, если числа небольшие: подставлять подходящие значения и проверять равенство. Но надёжнее использовать действие, обратное данному в уравнении, потому что оно устраняет связь неизвестного с известным числом. Сложение отменяется вычитанием, вычитание — сложением, умножение — делением, а деление — умножением.
Первое действие определяют по строению уравнения и порядку действий. В записи 7x − 15 = 34 сначала восстанавливают всё выражение 7x, потому что из него вычли 15, и только потом находят x. В сложной записи начинают с действия, которое выполнялось бы последним над неизвестным, двигаясь к нему обратным путём.
Перенос слагаемого через знак равенства — сокращённая запись преобразования уравнения. Например, в x + 7 = 12 можно вычесть 7 из обеих частей: x + 7 − 7 = 12 − 7, поэтому x = 12 − 7. Знак слагаемого меняется не сам по себе, а потому, что при переносе выполняется противоположное действие.
Проверка нужна, чтобы убедиться, что найдено именно значение корня, а не результат случайной ошибки. Для этого число подставляют вместо неизвестного в исходную, а не уже преобразованную, запись. Если левая и правая части дают одинаковые значения, решение верно.
В таблице сначала найдите форму своего уравнения, затем примените указанное обратное действие. Буквы a и b обозначают известные числа, а x — неизвестное. После вычисления подставьте результат в исходную запись и сравните обе части.
| Вид уравнения | Действие для нахождения неизвестного | Пример | Проверка |
|---|---|---|---|
| x + a = b | x = b − a | x + 7 = 12 | Подстановка найденного значения вместо x |
| x − a = b | x = b + a | x − 4 = 9 | Подстановка найденного значения вместо x |
| a · x = b | x = b : a | 5x = 35 | Подстановка найденного значения вместо x |
| x : a = b | x = b · a | x : 6 = 8 | Подстановка найденного значения вместо x |
Неизвестное x является слагаемым, а 18 — вторым слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое. После вычисления проверим результат в исходной записи.
Ответ: x = 25.
Здесь неизвестное входит в произведение 7x, из которого вычли 15. Поэтому сначала нужно восстановить уменьшаемое, прибавив 15 к 34, а затем найти неизвестный множитель делением. Такой порядок повторяет обратные действия исходного выражения.
Ответ: x = 7.
Неизвестное число обозначим буквой x. Фраза «из числа вычли 27» означает x − 27, а результат 58 записывается после знака равенства. Получаем уравнение и затем проверяем, подходит ли найденное число по смыслу.
Ответ: исходное число — 85.
При переносе слагаемого иногда меняют его знак механически или забывают это сделать. Такая ошибка появляется, если не видеть за правилом вычитание одного и того же числа из обеих частей. Проверьте себя, выполнив обратное действие или подставив найденное значение в исходное уравнение.
Неизвестный множитель, делимое и делитель находят разными действиями, поэтому их нельзя путать. Например, в 5x = 35 неизвестный множитель находят делением, а в x : 6 = 8 неизвестное делимое — умножением. Назовите компоненты действия словами и только потом выберите формулу.
Иногда записывают только число и не указывают, что оно является корнем, либо пропускают проверку. Тогда непонятно, завершено ли решение и действительно ли число подходит. Запишите равенство для корня, выполните подстановку и сформулируйте ответ.
При раскрытии выражения можно потерять скобки, знак или порядок действий. Это особенно часто происходит, когда неизвестное входит в несколько последовательных операций. Переписывайте каждое преобразование отдельной строкой и сверяйте его с предыдущей записью.
До изучения уравнений нужны свойства сложения, вычитания, умножения и деления, а также знание обратных действий. Порядок выполнения действий помогает понять, с какого преобразования начинать. Эти навыки делают решение последовательным.
В текстовых задачах уравнение превращает описание ситуации в математическую модель. Неизвестному присваивают букву, выражают через неё данные величины, решают уравнение и проверяют смысл результата. Поэтому ответ записывают не только числом, но и с названием величины.
Дальше уравнения понадобятся при изучении систем уравнений, неравенств и формул. Они помогают описывать зависимости между величинами и находить неизвестные параметры. Умение проверять корень сохраняется во всех этих темах.
Чем уравнение отличается от выражения?
Выражение состоит из чисел, букв и знаков действий, но равенства в нём нет. Уравнение обязательно содержит знак равенства и неизвестное, значение которого нужно найти.
Может ли уравнение иметь несколько корней?
Да, некоторые уравнения имеют несколько корней. В простых уравнениях с неизвестным в первой степени обычно бывает один корень, но встречаются уравнения с двумя, несколькими корнями или без корней.
Почему при переносе слагаемого меняется его знак?
Перенос основан на прибавлении или вычитании одного и того же числа из обеих частей равенства. Чтобы убрать слагаемое в одной части, выполняют противоположное действие, поэтому его знак меняется.
Как понять, какое действие выполнять первым?
Посмотрите, каким действием неизвестное связано с другими числами. Если сначала из неизвестного вычитают число, сначала восстановите уменьшаемое сложением; если из выражения нужно получить множитель, сначала устраните действия, стоящие дальше от неизвестного.
Обязательно ли делать проверку после решения уравнения?
Проверка не всегда обязательна для записи короткого решения, но она очень полезна. Подстановка корня в исходное уравнение помогает обнаружить ошибку в вычислениях, знаках или выборе действия.
Урок 27—29 Уравнения
