Урок 26 Равенство и неравенство

Определения и обозначения

Равенство — это запись двух выражений, соединённых знаком =; она утверждает, что их значения одинаковы. Например, в записи 4 + 2 = 6 обе части имеют значение 6. Равенства нужны, чтобы показать совпадение результатов вычислений или описать связь между числами.

Неравенство — запись двух выражений, соединённых знаком < или >; она указывает, какое значение меньше или больше. В записи 3 < 5 левая часть меньше правой, а в записи 8 > 6 левая часть больше правой. Такие знаки помогают точно записывать результат сравнения.

Истинное равенство или неравенство — запись, утверждение которой верно при заданных значениях чисел и переменных. Например, 7 = 3 + 4 истинно, потому что обе части равны 7. Проверка истинности позволяет понять, правильно ли выполнено сравнение или вычисление.

Ложное равенство или неравенство — запись, утверждение которой неверно при заданных значениях чисел и переменных. Например, 9 < 6 ложно: число 9 не меньше 6. Умение замечать ложные записи помогает не принимать любое выражение со знаком сравнения за верное.

Как это устроено

Сравнение двух чисел сначала выполняют по их значениям, а затем записывают с помощью знака. Если значения одинаковы, ставят =; если первое меньше второго — <, а если больше — >. Знак делает сравнение коротким и однозначным: по нему сразу понятно, как соотносятся левая и правая части.

У знаков < и > разное направление, потому что они показывают порядок чисел слева направо. В записи 3 < 5 острый угол обращён к 3 — меньшему числу, а раскрытая часть направлена к 5. Запись 5 > 3 сообщает то же самое сравнение, только числа поменялись местами: читаем её слева направо и видим, что 5 больше 3.

Чтобы установить истинность записи, нужно найти значение каждой её части и только потом сравнить результаты. Например, в записи 12 > 5 + 8 правая часть равна 13, поэтому утверждение сводится к сравнению 12 > 13 и оказывается ложным. Такой порядок действий нужен потому, что сложное выражение нельзя оценить, пока не известно его значение.

Если в равенстве или неравенстве есть переменная, её значение влияет на результат. Например, при x = 3 запись x + 1 = 4 верна, а при x = 2 она превращается в 3 = 4 и становится ложной. Поэтому нельзя считать такую запись верной для всех чисел: сначала нужно знать, какое значение переменной задано или рассматривается.

Проверка записи с переменной выполняется подстановкой: вместо буквы ставят выбранное число, вычисляют левую и правую части и сравнивают результаты. Если требуется найти все подходящие значения, можно проверять возможные числа по очереди или рассуждать с помощью сравнения. Например, из x + 2 < 7 следует, что x должно быть меньше 5. Затем учитывают, какие значения разрешены условием, например только натуральные числа.

Равенства и неравенства

Сначала найди в таблице нужный знак и прочитай, какое сравнение он обозначает. Затем проверь пример, вычислив значения частей. Для записи с переменной дополнительно выясни, какое значение переменной подставлено.

Разбор задач

Задача 1. Определи, какие записи верны: 7 = 3 + 4; 9 < 6; 12 > 5 + 8. Проверять их нужно по отдельности, ведь истинность одного утверждения ничего не говорит о другом. Сначала вычислим части с действиями, а затем сравним полученные числа.

1. В первой записи вычисляем 3 + 4 = 7. Получаем 7 = 7, значит равенство истинно.
2. Во второй записи сравниваем 9 и 6. Число 9 больше 6, поэтому утверждение 9 < 6 ложно.
3. В третьей записи вычисляем 5 + 8 = 13. Сравнение 12 > 13 неверно, поэтому неравенство ложно.

Ответ: истинно только равенство 7 = 3 + 4; два неравенства ложны. Такой вывод получен после вычисления и сравнения каждой пары значений.

Задача 2. Вставь знак =, < или >: 14 − 6 __ 3 + 5. Нельзя выбирать знак по первым числам или по внешнему виду выражений, потому что сравнивать нужно их результаты. Вычислим левую и правую части отдельно.

1. Слева получаем 14 − 6 = 8.
2. Справа получаем 3 + 5 = 8.
3. Значения одинаковы, поэтому между выражениями ставим знак =.

Ответ: 14 − 6 = 3 + 5. Проверка проста: обе части равны 8, следовательно, равенство истинно.

Задача 3. При каких натуральных значениях x верно неравенство x + 2 < 7? Натуральные числа здесь — 1, 2, 3 и так далее. Можно проверять их по очереди, но удобнее понять, насколько большим может быть x.

1. Вычитаем 2 из обеих сравниваемых частей: условие сводится к x < 5. Это означает, что x должен быть меньше пяти.
2. Среди натуральных чисел меньше 5 находятся 1, 2, 3 и 4. Проверим крайние подходящие значения: при x = 1 получаем 3 < 7, при x = 4 — 6 < 7.
3. При x = 5 выходит 7 < 7, а это неверно; большие числа тоже не подойдут.

Ответ: x = 1, 2, 3 или 4. Проверка граничного значения помогает убедиться, что число 5 включать нельзя.

Типичные ошибки

Знаки < и > часто путают, читая их не в том направлении. Запомни: острый угол указывает на меньшее число, а раскрытая сторона — на большее. Для самопроверки прочитай запись слева направо: 3 < 5 означает «три меньше пяти», а 5 > 3 — «пять больше трёх».

Иногда думают, что запись с переменной верна при любом её значении. Так происходит, если букву воспринимают как одно постоянное число, не учитывая, что её можно заменить разными числами. Подставь хотя бы два значения и сравни результаты: если вывод меняется, истинность зависит от переменной.

Выражения могут сравнивать по отдельным числам, не вычисляя их значения. Например, в 14 − 6 и 3 + 5 нельзя просто сопоставить 14 и 3: вычитание и сложение меняют результаты частей. Вычисли оба выражения целиком, а затем сравни ответы; здесь получатся 8 и 8.

Ещё одна ошибка — объявлять равенство или неравенство истинным, не проверив обе части. Знакомое на вид утверждение может оказаться ложным, если выражение вычислено неверно. Проведи самопроверку: выпиши значения слева и справа, поставь между ними знак сравнения и только после этого сделай вывод.

Связь с другими темами

Для проверки равенств и неравенств нужно уметь выполнять арифметические действия и находить значения числовых выражений. Сравнение чисел помогает упорядочивать результаты и показывает, какое из них больше или меньше. Это умение используют в практических ситуациях, например при записи и сравнении результатов измерений.

С равенствами и неравенствами связаны уравнения и неравенства с переменными. При их решении ищут такие значения неизвестного, при которых соответствующая запись становится истинной. Поэтому подстановка и проверка обеих частей пригодятся при изучении следующих тем.

Что запомнить

• Знак = означает, что значения частей равны.
• Знак < читают «меньше», знак > — «больше».
• В записи a < b число a меньше числа b.
• Чтобы проверить равенство или неравенство, вычисли значения его частей.
• Истинность записи с переменной может зависеть от её значения.
• Знак сравнения выбирают после сравнения значений, а не по виду выражений.