Урок 25 Верно и неверно. Всегда и иногда

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, верно оно или неверно. Например, фраза «Число 8 чётное» является высказыванием: её можно проверить. Понимание этого определения помогает отделить математические утверждения от вопросов и команд. Если истинность предложения установить нельзя, оно не подходит для такой проверки.

Истинное высказывание — высказывание, соответствующее действительности. Например, «2 + 3 = 5» истинно, потому что равенство выполняется. Это понятие нужно, чтобы обозначать утверждения, которые согласуются с фактами или доказанными математическими правилами. Проверяй содержание фразы, а не то, насколько убедительно она звучит.

Ложное высказывание — высказывание, не соответствующее действительности. Фраза «Число 9 чётное» ложна: 9 не делится на 2 без остатка. Понятие помогает замечать неверные утверждения и опровергать их. Для этого достаточно показать, в чём именно фраза расходится с фактами.

Высказывание «верно всегда» — утверждение, которое выполняется при любых допустимых значениях входящих в него величин. Например, сумма двух чётных чисел всегда чётна. Слово «допустимых» означает, что нужно учитывать только значения, подходящие под условие задачи. Это определение помогает отличать общее правило от удачного частного примера.

Как это устроено

Вопрос, просьба или приказ не являются высказываниями, потому что не сообщают факт, истинность которого можно проверить. Вопрос «Сколько будет 3 + 4?» запрашивает ответ, а команда «Реши уравнение» побуждает к действию. Нельзя назвать их истинными или ложными: сначала нужно ответить на вопрос или выполнить команду. А вот полученное утверждение «3 + 4 = 7» уже можно проверить.

Истинность определяется смыслом высказывания и обстоятельствами, о которых в нём говорится. Уверенный тон, авторитет говорящего или мнение большинства сами по себе ничего не доказывают. Например, фраза «12 делится на 3» истинна независимо от того, кто её произнёс и сомневался ли он. Если в предложении есть переменная, для проверки нужно знать её значение или рассматривать все значения, разрешённые условием.

Подстановка конкретных чисел позволяет проверить утверждение в отдельных случаях. Если для выбранных чисел равенство выполняется, мы получили подтверждающий пример, но проверили только эти значения. У общего утверждения могут быть другие случаи, которые ведут себя иначе. Поэтому несколько примеров полезны для поиска закономерности, но для вывода «верно всегда» требуется обоснование, охватывающее все допустимые случаи.

Утверждения «верно всегда», «верно иногда» и «неверно всегда» отличаются тем, сколько допустимых случаев в них выполняются. При «верно всегда» подходят все случаи, при «верно иногда» — хотя бы один, но не все. При «неверно всегда» не подходит ни один допустимый случай. Сначала важно точно определить множество случаев, о которых идёт речь: без этого можно проверить не то утверждение.

Чтобы проверить фразу о числах или фигурах, сначала выясни её условие, а затем подбери подходящие случаи. Пример показывает, что утверждение может выполняться, а контрпример — что оно выполняется не всегда. Контрпример должен соответствовать условию, иначе он ничего не говорит о рассматриваемом утверждении. Например, для фразы о числах, делящихся на 4, число, которое на 4 не делится, не может быть контрпримером.

Виды утверждений и способы их проверки

Вначале установи, проверяешь ли ты утверждение при заданном значении или для всех допустимых случаев. Затем выбери подходящий способ: подстановку, поиск примеров и контрпримеров или общее рассуждение. Пример помогает обнаружить возможность, а для вывода о всех случаях требуется доказательство.

Разбор задач

Определите, какие из предложений являются высказываниями: «Число 8 чётное», «Реши уравнение», «Сколько будет 3 + 4?» Сначала выясним, можно ли каждое предложение оценить как истинное или ложное. Важно не путать предложение по форме с математическим утверждением. Проверим их по очереди.

1. «Число 8 чётное» сообщает факт, который можно проверить: 8 делится на 2. Это высказывание, и оно истинно.
2. «Реши уравнение» — просьба выполнить действие. Нельзя определить, истинна она или ложна, поэтому это не высказывание.
3. «Сколько будет 3 + 4?» — вопрос, а не утверждение. Он также не является высказыванием; после ответа можно составить высказывание «3 + 4 = 7».

Ответ: высказывание — только «Число 8 чётное». Два остальных предложения являются побуждением и вопросом. Их нельзя оценить как истинные или ложные, пока вместо них не появится утверждение. Например, ответ на вопрос можно записать в форме проверяемого равенства.

Проверьте утверждение «Сумма двух чётных чисел чётна» на нескольких примерах, а затем объясните, почему оно верно всегда. Несколько проверок дадут основания предположить правило, но не охватят все пары чисел. Чтобы обосновать утверждение, представим произвольные чётные числа через их общий признак — делимость на 2. Так рассуждение будет относиться не к отдельной паре, а к любой.

1. Проверим примеры: 2 + 4 = 6 и 8 + 10 = 18. В обоих случаях сумма чётная, но пока проверены лишь две пары.
2. Обозначим любые чётные числа как 2a и 2b, где a и b — целые числа. Их сумма равна 2a + 2b.
3. Вынесем общий множитель: 2a + 2b = 2(a + b). Сумма делится на 2, значит, по определению она чётная.

Ответ: утверждение верно всегда. Примеры показывают, что правило работает в отдельных случаях, а запись через 2a и 2b объясняет, почему оно работает для любых чётных чисел. Именно общий признак, а не количество проверенных примеров, завершает доказательство. Здесь допустимыми случаями являются любые пары чётных чисел.

Решите, верно ли всегда, иногда или никогда утверждение: «Если натуральное число делится на 4, то оно делится на 8». Проверяем только натуральные числа, делящиеся на 4, потому что это условие. Чтобы выяснить, всегда ли верна связь, найдём случай, где заключение выполняется, и случай, где оно нарушается. Такой подбор покажет, достаточно ли утверждения для вывода «всегда».

1. Возьмём число 8: оно делится на 4 и на 8. Это пример, когда условие и заключение верны.
2. Возьмём число 4: оно делится на 4, но не делится на 8. Условие соблюдено, а заключение неверно.
3. Число 4 — контрпример к утверждению «верно всегда». Но пример с числом 8 показывает, что утверждение выполняется хотя бы иногда.

Ответ: утверждение верно иногда, но не всегда. Оно не является неверным во всех случаях, потому что для числа 8 заключение выполняется. Один подходящий контрпример — число 4 — опровергает только слово «всегда», а не наличие всех случаев, в которых утверждение истинно. Оба числа подходят под условие, поэтому сравнение корректно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вопрос или приказ высказыванием. Её допускают потому, что предложение выглядит законченным и содержит математические слова. Но вопрос просит дать ответ, а приказ побуждает действовать; ни тому ни другому нельзя приписать истинность. Проверь себя: сообщает ли фраза факт, который можно подтвердить или опровергнуть?

Ошибка: считать общее утверждение доказанным, если оно верно для нескольких проверенных чисел. Обычно примеры кажутся убедительными, особенно когда правило повторяется несколько раз. Но они охватывают только выбранные случаи и не исключают контрпример среди остальных. Проверь себя: доказал ли ты утверждение для произвольного допустимого значения, а не только для знакомых чисел?

Ошибка: путать «верно иногда» с «верно всегда». Ученик может найти один подходящий пример и решить, что он подтверждает правило для всех случаев. Один пример показывает только, что утверждение выполняется хотя бы раз; для слова «всегда» нужно охватить все допустимые случаи. Проверь себя: есть ли рассуждение для любого случая или пока найден лишь один пример?

Ошибка: приводить в качестве контрпримера значение, которое не удовлетворяет условию. Его выбирают, проверяя только заключение и забывая, о каких случаях говорится. Такой пример не может опровергнуть условное утверждение, потому что не относится к рассматриваемой ситуации. Проверь себя: сначала убедись, что условие выполнено, и только потом проверяй, нарушено ли заключение.

Связь с другими темами

Для проверки высказываний нужны умения читать математические предложения, различать числа и выражения, подставлять значения и выполнять вычисления. Если ошибиться при подстановке, можно неверно определить истинность даже простой фразы. Поэтому полезно сначала аккуратно переписать выражение, затем подставить числа и проверить результат. Эти действия продолжают навыки вычислений и работы с переменными.

Различение истинных и ложных утверждений пригодится при доказательствах и опровержениях. В алгебре оно помогает проверять свойства операций и общие правила, а в геометрии — свойства фигур. Поиск контрпримера позволяет быстро показать, что утверждение не выполняется всегда. А доказательство объясняет, почему верное правило работает во всех допустимых случаях.

Что запомнить

• Высказывание можно оценить как истинное или ложное.
• Вопросы и побуждения не являются высказываниями.
• Пример подтверждает возможность, но не доказывает, что утверждение верно всегда.
• Чтобы опровергнуть утверждение «верно всегда», достаточно одного контрпримера.
• «Верно иногда» означает, что утверждение выполняется хотя бы в одном случае, но не во всех.
• При проверке общего утверждения учитывают только случаи, отвечающие его условию.