"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Выражение с переменной — это запись, в которой буква обозначает число и соединена с числами знаками действий. Такая запись помогает описать одно правило сразу для разных чисел: достаточно подставить вместо буквы нужное значение и вычислить результат. Например, выражение 7a − 3 при a = 5 превращается в числовое выражение. Главное — заменить букву во всех её вхождениях, внимательно поставить скобки при отрицательном числе и выполнить действия в правильном порядке.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переменная — буква, обозначающая число, которое может принимать разные значения. Например, буквой a можно обозначить число учеников в одной группе, если их количество меняется. Буква позволяет не переписывать правило для каждого отдельного числа.
Выражение с переменной — запись из чисел, переменных и знаков арифметических действий. Например, 7a − 3 означает: число a умножить на 7, а затем вычесть 3. Такая запись описывает общий способ вычисления, а не один заранее известный результат.
Значение переменной — конкретное число, подставляемое вместо буквы. Если задано a = 5, вместо каждой буквы a в выражении нужно поставить число 5. Это условие сообщает, для какого случая выполняются вычисления.
Значение выражения — число, полученное после подстановки значения переменной и выполнения действий. Так, для 7a − 3 при a = 5 результатом будет 32. Это число показывает итог применения правила при выбранном значении переменной.
Буквенная запись обобщает числовое выражение: одна и та же формула подходит для разных чисел. Например, периметр квадрата со стороной a можно записать как 4a. Буква нужна потому, что длина стороны может меняться, а правило — сложить четыре равные стороны — остаётся тем же. Подставляя разные числа вместо a, мы получаем частные случаи общего правила.
Чтобы подставить значение, заменяют букву соответствующим числом во всех местах, где она встречается. Если число отрицательное, его берут в скобки: при x = −3 запись 2x становится 2 · (−3). Скобки показывают, что минус относится к числу целиком, а не обозначает отдельное действие. Благодаря этому знаки и порядок вычислений читаются однозначно.
После подстановки получается числовое выражение, и его вычисляют по обычному порядку действий. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание; действия одной ступени выполняют слева направо. Этот порядок нужен, чтобы у одной и той же записи был один и тот же результат. Например, в 3 · 4 + 2 сначала умножают, а затем прибавляют 2.
Одно выражение может иметь разные значения при разных значениях переменной, потому что меняется число, участвующее в вычислениях. Например, при a = 1 выражение 7a − 3 равно 4, а при a = 5 оно равно 32. Само правило осталось прежним, но подставленные числа различаются. Поэтому результат всегда рассматривают вместе с заданным значением переменной.
Чтобы сравнить значения выражения, подставляют каждое заданное число отдельно, вычисляют результаты и сравнивают полученные числа. Можно проверить вычисления повторным подсчётом или подстановкой в преобразованную, но равную запись. Например, для сравнения 3(x + 2) и 3x + 6 сначала вычисляют обе записи при одном и том же x. Если результаты совпали, это подтверждает равенство в данном случае, а верное преобразование помогает установить его для всех x.
| Элемент | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Переменная | Буква, которая обозначает изменяющееся число | a в выражении 7a − 3 |
| Значение переменной | Число, подставляемое вместо буквы | a = 5 |
| Выражение с переменной | Запись с числами, буквами и действиями | 7a − 3 |
| Подстановка значения | Замена каждой буквы заданным числом | 7 · 5 − 3 |
| Порядок действий | Правило, по которому выполняют вычисления | Сначала умножение, затем вычитание |
| Значение выражения | Результат вычислений после подстановки | 7 · 5 − 3 = 32 |
Пользуйся таблицей как последовательностью шагов: найди переменную, определи её заданное значение и выполни подстановку. Затем вычисли полученную запись, соблюдая порядок действий. В последней строке проверь, что записан результат всего выражения, а не только подставленное число.
Условие: найти значение выражения 7a − 3 при a = 5. Нужно заменить букву числом 5 и вычислить получившееся числовое выражение. Поскольку сначала выполняется умножение, только после него можно вычитать 3.
Ответ: 32. Проверка смысла проста: значение выражения — итог всех действий, а не число, которое было подставлено вместо буквы. Поэтому результатом стало 32, хотя значение переменной равно 5.
Условие: найти значения выражений 3(x + 2) и 3x + 6 при x = 4 и сравнить их. Можно подставить число в обе записи отдельно, а можно сначала заметить, что первое выражение раскрывается по распределительному свойству умножения. Оба способа должны привести к одинаковому результату.
Ответ: значения равны, каждое выражение равно 18. Проверим преобразованием: 3(x + 2) = 3x + 6, потому что множитель 3 умножается на оба слагаемых в скобках. Важно подставлять одно и то же значение x в обе записи, иначе сравнение будет некорректным.
Условие: при каком значении переменной b выражение 4b − 7 равно 25? Теперь неизвестно не значение выражения, а число, которое нужно подставить вместо b. Поэтому сначала записываем равенство 4b − 7 = 25, а затем ищем число, при котором оно верно.
Ответ: b = 8. Проверка подтверждает, что при найденном значении выражение действительно равно 25. Если бы результат отличался, значит, в преобразованиях или вычислениях была ошибка.
Заменяют переменную только в части выражения. Так происходит, если не заметить все повторения одной буквы. Например, в x + 2x при x = 3 нужно заменить оба вхождения: получится 3 + 2 · 3. Для проверки обведи каждую букву и убедись, что ни одной незаменённой не осталось.
Теряют знак отрицательного числа. При подстановке −2 вместо x запись 3x означает 3 · (−2), а не 3 · 2. Ошибку допускают, когда воспринимают минус как знак отдельного действия. Заключай отрицательное число в скобки и проверяй, что знак сохранился.
Вычисляют слева направо, не учитывая порядок действий. Например, в 2 + 3 · 4 сначала нужно умножить, а затем сложить. Такой промах возникает, если считать знаки действий равноправными. Перед вычислением отметь скобки, умножение и деление, а после проверь порядок.
Путают значение переменной со значением выражения. Если a = 5, это ещё не значит, что выражение 7a − 3 равно 5: после подстановки нужно выполнить все действия. Путаница возникает из-за того, что оба числа относятся к одной записи. Проверяй, спрашивают ли число вместо буквы или итог вычислений.
Для работы с буквенными выражениями нужно знать числовые выражения и порядок действий: после подстановки вычисления выполняются по тем же правилам. Свойства сложения и умножения помогают преобразовывать запись, например раскрывать скобки. Если задано значение всего выражения, можно составить уравнение и найти переменную. Позже этот способ пригодится при работе с формулами, зависимостями между величинами, преобразованием выражений и функциями.
Чем выражение с переменной отличается от числового выражения?
В числовом выражении указаны только числа и знаки действий, поэтому его значение можно вычислить сразу. В выражении с переменной есть буква, и результат зависит от того, какое число вместо неё подставить.
Почему при подстановке отрицательного числа нужны скобки?
Скобки показывают, что отрицательное число подставлено целиком, вместе со знаком. Например, при a = −2 выражение 3a записывают как 3 · (−2), чтобы не спутать знак числа с действием.
Нужно ли каждый раз записывать знак умножения между числом и переменной?
Обычно знак умножения между числом и буквой не пишут: 3a означает 3 · a. Если подставляют число, знак умножения удобнее записать явно, особенно когда число отрицательное.
Можно ли сначала упростить выражение, а потом подставить значение переменной?
Да, если преобразование верно и сохраняет значение выражения. Например, 3(x + 2) можно заменить на 3x + 6, а затем подставить число. Для проверки можно вычислить исходную и упрощённую записи отдельно.
Как найти значение переменной, если известно значение всего выражения?
Нужно приравнять выражение к известному значению и найти число, при котором равенство верно. Например, для условия 4b − 7 = 25 сначала прибавляют 7 к обеим частям, затем делят обе части на 4.
Урок 24 Выражение с переменной
