Урок 23 Переменная

Определения и обозначения

Переменная — буква, обозначающая число, которое может принимать разные значения. Например, буква a может обозначать 2, 5 или 10 в разных ситуациях. Такое обозначение позволяет работать сразу с целым рядом случаев, а не записывать отдельное вычисление для каждого числа.

Буквенное выражение — запись, составленная из чисел, переменных и знаков арифметических действий. Примеры: 4x + 7, a − b, 3(m + 2). Оно нужно, чтобы кратко записывать правила вычислений и зависимости между величинами.

Значение буквенного выражения — число, полученное после подстановки конкретных значений переменных и выполнения вычислений. Например, при a = 4 выражение 3a + 5 имеет значение 17. Так можно узнать результат для выбранных чисел, не меняя самой записи выражения.

Допустимое значение переменной — значение, при котором выражение имеет смысл. В выражении 8/(x − 1) нельзя брать x = 1, потому что знаменатель станет нулём. Проверка допустимости защищает от неверного результата и должна выполняться до вычислений.

Как это устроено

Букву используют потому, что число не всегда известно заранее или может изменяться. Одна и та же величина в задаче может быть сначала неизвестной, а затем получить конкретное значение, либо изменяться при разных условиях. Буква делает запись короткой и показывает место числа в выражении. Например, вместо слов «к некоторому числу прибавили 6» пишут x + 6.

Числовое выражение превращают в буквенное, заменяя одно или несколько чисел переменными. Если в записи 7 + 3 · 4 число 3 обозначить буквой a, получится 7 + a · 4. Смысл действий сохраняется: буква занимает то же место, где раньше стояло число. Поэтому по буквенной записи можно восстановить способ вычисления для любого допустимого значения переменной.

Чтобы найти значение буквенного выражения, сначала записывают, чему равны переменные, затем выполняют подстановку. После этого считают результат по обычным правилам порядка действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Если действий одного уровня несколько, их выполняют слева направо. Такой порядок нужен, чтобы все ученики получали один и тот же результат.

Одна запись может давать разные значения, потому что переменная заменяется разными числами. Например, выражение a + 2 при a = 3 равно 5, а при a = 9 равно 11. Иногда изменение переменной меняет результат постепенно, иногда — резко, если переменная участвует в умножении или делении. Перед подстановкой также проверяют, не обращается ли знаменатель в ноль: деление на ноль не определено.

Сравнение числовых и буквенных выражений

Таблица помогает увидеть, что общего у двух видов выражений и чем они различаются. При решении сначала определите, есть ли в записи переменные, а затем выберите нужный способ вычисления. Для буквенного выражения обязательно выясните значения букв и проверьте допустимость подстановки.

Разбор задач

Задача 1

Найдём значение выражения 3a + 5 при a = 4. Буква a означает число 4, поэтому её можно заменить этим числом. После подстановки сохраняем порядок действий.

1. Подставляем значение: 3a + 5 = 3 · 4 + 5.
2. Выполняем умножение: 3 · 4 = 12.
3. Прибавляем 5: 12 + 5 = 17.

Ответ: 17.

Задача 2

Ширина прямоугольника равна b см, а длина на 3 см больше ширины. Сначала переводим условие на язык математики: к ширине нужно прибавить 3. Затем находим результат при b = 5.

1. Записываем длину: b + 3.
2. Подставляем b = 5: 5 + 3.
3. Вычисляем: 5 + 3 = 8 см.

Ответ: буквенное выражение для длины — b + 3, при b = 5 длина равна 8 см.

Задача 3

Определим, при каких значениях x имеет смысл выражение 12/(x − 2), и вычислим его при x = 5. Главная проверка относится к знаменателю, потому что на ноль делить нельзя. Сначала найдём запрещённое значение, а потом выполним подстановку.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x − 2 = 0.
2. Получаем x = 2, поэтому это значение недопустимо.
3. При x = 5 вычисляем: 12/(5 − 2) = 12/3 = 4.

Ответ: выражение имеет смысл при x ≠ 2; при x = 5 его значение равно 4.

Типичные ошибки

Ученик считает переменную неизвестным числом, которое всегда имеет только одно значение. Так происходит из-за привычки искать одну букву в уравнении, но переменная может принимать разные числа. Проверьте себя: попробуйте подставить в выражение два разных допустимых значения.

При подстановке забывают скобки или меняют структуру выражения, особенно с отрицательным числом. Например, при x = −3 запись 2x² требует подстановки 2(−3)², а не 2−3². Перепишите выражение полностью, заменяя только букву и сохраняя скобки.

Нарушение порядка действий приводит к неверному результату. Ошибку часто допускают, когда считают слева направо, не учитывая умножение, деление и скобки. Проверьте каждое действие: сначала скобки, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание.

Иногда допускают значение, при котором происходит деление на ноль. Причина — подстановка выполняется сразу, без проверки знаменателя. Приравняйте знаменатель к нулю и исключите найденные значения до начала вычислений.

Связь с другими темами

До изучения переменной нужны навыки действий с натуральными и целыми числами, соблюдения порядка действий и понимания равенства. Буквенные выражения становятся основой формул, уравнений и преобразований выражений. С их помощью описывают зависимости между величинами, например связь ширины и длины прямоугольника, и решают текстовые задачи.

Что запомнить

• Переменная обозначается буквой и может принимать разные числовые значения.
• Буквенное выражение содержит хотя бы одну переменную.
• Чтобы найти значение выражения, вместо переменных подставляют их значения.
• После подстановки вычисления выполняют по правилам порядка действий.
• При подстановке отрицательного числа используют скобки.
• Нельзя допускать деление на ноль.
• Одно буквенное выражение может иметь разные значения при разных значениях переменных.