Урок 8 Разбиение множества на части (классификация)-

Определения и обозначения

Разбиение множества на части — это представление всех его элементов в виде отдельных групп. Каждый элемент исходного множества должен попасть в одну из выделенных частей. Это правило помогает проверить, не потеряли ли мы какой-нибудь объект и не записали ли его сразу в несколько групп.

Классификация — распределение объектов множества по группам на основании общего признака. Например, можно разделить числа на чётные и нечётные. Классификация нужна, чтобы упорядочивать объекты и легче находить среди них нужные.

Основание классификации — признак, по которому объекты относят к разным группам. При классификации чисел на чётные и нечётные таким признаком служит делимость на 2. Если основание сформулировано ясно, можно решить, к какой группе относится каждый объект.

Класс множества — одна из частей, выделенных при классификации. Например, при распределении треугольников по числу равных сторон классами будут разносторонние, равнобедренные и равносторонние треугольники. Название класса показывает, каким свойством обладают входящие в него объекты.

Как это устроено

Сначала нужно определить, какие объекты составляют исходное множество: например, перечислить все числа или фигуры, которые предстоит распределить. Затем выбирают общий признак и формулируют классы, соответствующие его значениям. Такой порядок нужен, чтобы классификация относилась именно к заданным объектам, а не к каким-то другим.

Каждый исходный элемент должен оказаться хотя бы в одном классе, потому что группы должны охватить всё множество. Если объект не подходит ни к одной группе, он остаётся без места, а разбиение оказывается неполным. Поэтому до начала распределения полезно проверить, предусмотрен ли класс для каждого возможного значения выбранного признака.

Классы не должны пересекаться: один и тот же элемент нельзя отнести сразу к разным частям. Иначе классификация не даёт однозначного ответа, где именно находится объект. Чтобы избежать пересечений, условия классов формулируют так, чтобы для каждого элемента подходило только одно из них.

Например, множество чисел 1, 2, 3, 4, 5 можно разделить на классы чётных {2, 4} и нечётных {1, 3, 5}. Вместе эти классы содержат все исходные числа, а общих элементов у них нет. Значит, разбиение получилось: каждый элемент учтён ровно один раз.

Одни и те же объекты можно распределять по разным основаниям. Числа можно разделить на чётные и нечётные, а затем — на меньшие 4 и не меньшие 4; фигуры можно объединить по цвету или по числу углов. Разные признаки отвечают на разные вопросы, поэтому приводят к разным классам, хотя исходное множество остаётся тем же.

Признаки разбиения множества на классы

Пользуйся таблицей как проверочным списком после того, как выбрал основание и распределил объекты. Сначала проверь, что исходное множество задано полностью, затем проверь каждый элемент и все классы. Если выполнены условия полноты и отсутствия пересечений, получилось разбиение.

Разбор задач

Задача 1. Разделить множество чисел 1, 2, 3, 4, 5 на чётные и нечётные. Нужно распределить каждое число по признаку делимости на 2, а затем проверить классы. Этот пример показывает, как одновременно проверить полноту и отсутствие общих элементов.

1. Основание классификации — делимость числа на 2 без остатка.
2. К чётным относим 2 и 4: получаем класс {2, 4}. К нечётным относим 1, 3 и 5: получаем класс {1, 3, 5}.
3. Вместе классы содержат все числа исходного множества, а ни одно число не входит в оба класса.

Ответ: {2, 4} и {1, 3, 5} — классы правильного разбиения.

Задача 2. Классифицировать заданный набор треугольников по числу равных сторон. Важно уточнить, что сравниваются длины сторон каждого треугольника. Тогда признак можно проверить для каждого объекта, а классы будут описывать все возможные случаи.

1. Основание классификации — число равных сторон.
2. Если равных сторон нет, треугольник разносторонний; если равны две стороны — равнобедренный; если равны все три — равносторонний.
3. Проверяем каждый треугольник и помещаем его в класс по числу равных сторон. Эти варианты охватывают все случаи, и один треугольник не может одновременно иметь разные числа равных сторон.

Ответ: классы — разносторонние, равнобедренные и равносторонние треугольники.

Задача 3. Для множества фигур выбрать разбиение, при котором каждая фигура попадает ровно в один класс, и сравнить классификацию по цвету и по числу углов. Чтобы решить задачу, нужно рассмотреть каждый признак отдельно: набор классов для одного основания не обязан совпадать с набором для другого. Условия полноты и непересечения проверяются в обоих случаях.

1. При классификации по цвету создаём классы фигур одного цвета и относим каждую фигуру к её цвету.
2. При классификации по числу углов создаём классы по числу углов и распределяем фигуры по этому признаку.
3. Для каждого варианта проверяем, что все фигуры учтены и ни одна не попала в два класса. Если цвет или число углов не позволяет распределить фигуры однозначно, нужно уточнить основание или условия задачи.

Ответ: оба основания дают классификации, если каждый объект однозначно относится к одному из классов; сами классы при этом могут различаться.

Типичные ошибки

Оставить элемент исходного множества вне всех классов — значит нарушить полноту разбиения. Такое случается, когда забывают объект или не предусматривают для него подходящую группу. Проверь себя: перечисли исходные элементы и отметь напротив каждого, в каком классе он находится.

Допустить, чтобы элемент входил сразу в несколько классов, — значит создать пересечение. Это происходит, если условия групп сформулированы так, что подходят одному объекту одновременно. Проверь каждую пару классов и спроси себя, может ли один объект удовлетворять обоим условиям.

Нельзя считать разбиением любой набор групп, даже если каждая группа выглядит понятной. Группы могут не охватывать всё множество или содержать элементы, которых в исходном множестве нет. Чтобы проверить результат, сравни объединение групп с исходным множеством: элементы должны совпасть полностью.

Неудачное основание классификации не позволяет однозначно выбрать класс для элемента. Например, расплывчатое условие «красивые фигуры» не задаёт ясного способа распределения. Сформулируй признак так, чтобы его можно было проверить для каждого объекта и чтобы он определял ровно один класс.

Связь с другими темами

Для классификации нужно уметь задавать множество и перечислять его элементы: иначе нельзя проверить, все ли объекты распределены. В геометрии классифицируют фигуры по свойствам, а при изучении чисел — по признакам чисел. В задачах на распределение по признакам тот же подход помогает организовать данные и не упустить ни одного случая.

Идея разбиения пригодится при работе с диаграммами и систематизацией данных: группы наглядно показывают, как устроен набор объектов. Она также связана с логическими высказываниями, потому что принадлежность к классу определяется проверкой условия. Например, для числа проверяют, является ли оно чётным.

Что запомнить

• Классификация распределяет элементы множества по группам.
• Основание классификации — признак, по которому выделяют классы.
• Каждый элемент исходного множества должен попасть в один из классов.
• Классы разбиения не должны иметь общих элементов.
• Объединение всех классов должно давать исходное множество.
• Разные основания классификации могут приводить к разным разбиениям.