Уроки 30 — 31 Единицы длины

Определения и обозначения

Длина отрезка — величина, показывающая, насколько отрезок протянут от одного конца до другого. Проще говоря, она описывает расстояние между концами отрезка. Знание длины позволяет сравнивать отрезки и выполнять с ними расчёты.

Единица длины — выбранный эталон, с которым сравнивают длину других отрезков. Если отрезок содержит несколько таких единиц, его длина выражается соответствующим числом. Без общей единицы люди не могли бы одинаково понимать результаты измерений.

Метр — основная единица длины в метрической системе, её обозначение — м. Метром удобно измерять длину комнаты, доски или расстояние между предметами. От метра образуются более мелкие и более крупные единицы.

Миллиметр, сантиметр, дециметр и километр — единицы длины, связанные с метром. Миллиметры и сантиметры подходят для маленьких предметов, дециметры — для промежуточных размеров, а километры — для больших расстояний. Их соотношения помогают выбирать удобную единицу и переводить результаты измерений.

Как это устроено

Одного взгляда недостаточно, чтобы точно узнать длину отрезка, поэтому её сравнивают с единицей длины. Например, если единичный отрезок укладывается на данном отрезке пять раз, его длина равна пяти таким единицам. Так измерение превращает расстояние в число, с которым можно сравнивать и выполнять действия.

Метр связан с меньшими единицами последовательным делением на 10. В одном метре 10 дециметров, в одном дециметре 10 сантиметров, а в одном сантиметре 10 миллиметров. Поэтому 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм: каждый переход к следующей меньшей единице увеличивает числовое значение в 10 раз.

Для очень больших расстояний метра становится недостаточно, поэтому используют километр. Один километр составляют 1000 метров, то есть тысяча одинаковых отрезков по одному метру. Такое соотношение удобно для измерения расстояний между населёнными пунктами, потому что результат не записывают огромным числом метров.

При переводе величины нужно определить направление перехода. Из метров в сантиметры переходят к более мелким единицам и умножают на 100, а из сантиметров в метры — делят на 100; аналогично работают множители 10 и 1000. Для измерения выбирают единицу по размеру объекта, а линейку прикладывают нулевой отметкой к одному концу отрезка и смотрят, у какого деления оказался другой конец.

Единицы длины и их соотношения

Таблицу удобно читать по направлению от крупных единиц к мелким: при каждом шаге число единиц увеличивается в 10 раз, кроме переходов через несколько ступеней. При переходе от километров к метрам используют 1000, от метров к сантиметрам — 100, от метров к миллиметрам — 1000. Обратный переход выполняют делением.

Разбор задач

Выразить 7 м 4 см в сантиметрах

Составная величина содержит метры и сантиметры, поэтому сначала приведём её к одной единице. В одном метре 100 сантиметров, значит, семь метров можно заменить 700 сантиметрами. Затем к ним прибавим уже имеющиеся 4 сантиметра.

1. Переведём метры в сантиметры: 7 м = 7 · 100 см = 700 см.
2. Прибавим сантиметры: 700 см + 4 см = 704 см.

Ответ: 7 м 4 см = 704 см.

Сравнить 3 дм 8 см и 37 см

Сравнивать величины с разными единицами напрямую нельзя, потому что числа 3 и 37 относятся к разным единицам. Выберем сантиметры: дециметры переведём в сантиметры, а сантиметры оставим без изменения. После этого сравним обычные числа.

1. Переведём дециметры: 3 дм = 30 см.
2. Запишем первую величину: 3 дм 8 см = 30 см + 8 см = 38 см.
3. Сравним: 38 см больше 37 см.

Ответ: 3 дм 8 см > 37 см.

Длина ленты 2 м 35 см. От неё отрезали 8 дм. Какова длина оставшейся ленты?

В условии даны метры, сантиметры и дециметры, поэтому перед вычитанием приведём всё к сантиметрам. Так сохраняется точность и действие выполняется с числами, выраженными в одной единице. После вычитания можно перевести результат обратно в метры и сантиметры.

1. Переведём длину ленты: 2 м 35 см = 200 см + 35 см = 235 см.
2. Переведём отрезанную часть: 8 дм = 80 см.
3. Вычтем: 235 см − 80 см = 155 см.
4. Переведём результат: 155 см = 1 м 55 см.

Ответ: осталось 1 м 55 см ленты.

Типичные ошибки

Обозначение единицы пишут с точкой или во множественном числе: «5 см.» или «5 смы». Такое обозначение неверно: после числа ставят краткое обозначение без точки и окончания — «5 см». Проверить себя можно по записи в условии или таблице единиц.

При переводе метров в сантиметры делят на 100 вместо умножения. Ошибка появляется из-за путаницы: сантиметр меньше метра, поэтому сантиметров в той же длине будет больше. Если число при переходе к меньшей единице уменьшилось, направление выбрано неверно.

Иногда складывают или сравнивают числа, записанные в разных единицах. Например, 2 м и 30 см нельзя сравнить как 2 и 30. Сначала переведите всё в метры или сантиметры и только потом выполняйте действие.

При измерении линейкой отсчёт начинают с деления 1, а не с нулевой отметки. Тогда к длине добавляется расстояние от нуля до первого деления, и ответ получается завышенным. Перед измерением проверьте, что конец отрезка совпадает именно с отметкой 0.

Связь с другими темами

До изучения единиц длины нужно уметь сравнивать величины, считать десятками и сотнями и пользоваться линейкой. Эти навыки помогают понять переходы между единицами и точно считывать результат измерения.

Тема пригодится при изучении величин, действий с именованными числами и решении текстовых задач. Нужно будет переводить единицы, складывать, вычитать и находить неизвестные величины.

Единицы длины используются в геометрии при вычислении периметра и площади. Они также нужны в задачах о расстоянии и скорости, где важно правильно выбрать единицы и согласовать их между собой.

Что запомнить

• Длину измеряют с помощью единицы длины.
• Основная единица длины — метр, м.
• 1 км = 1000 м.
• 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.
• 1 дм = 10 см, 1 см = 10 мм.
• Перед сравнением, сложением и вычитанием величины нужно выразить в одинаковых единицах.
• При измерении линейкой один конец отрезка совмещают с нулевой отметкой.