"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами, а расстояние между ними — длиной отрезка. Отрезки обозначают двумя заглавными буквами, например AB или BA. Точка внутри отрезка делит его на части, длина всего отрезка равна сумме их длин. Если две части равны, точка деления является серединой отрезка.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют его концами. Отрезок нужен, чтобы изображать ограниченное расстояние между двумя точками.
Концы отрезка — две точки, ограничивающие его с разных сторон. Если концы обозначены A и B, отрезок записывают как AB или BA. По концам можно сразу понять, где отрезок начинается и где заканчивается.
Длина отрезка — расстояние между его концами. Её обозначают теми же буквами, что и отрезок: длина AB может записываться как AB. Длину измеряют в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и других единицах.
Середина отрезка — точка, которая делит его на два равных отрезка. Если M — середина KL, то KM = ML. Это понятие помогает быстро находить половину отрезка или его целую длину.
Прямая продолжается в обе стороны и не имеет концов, поэтому её длину нельзя измерить как расстояние между крайними точками. Луч имеет только один конец и продолжается в одну сторону. У отрезка два конца, поэтому он ограничен и имеет конечную длину.
Отрезок называют по его концам: если это точки A и B, используют запись AB. Запись BA описывает те же две точки и тот же участок прямой, только в обратном порядке. Поэтому AB и BA — один и тот же отрезок, а не два разных объекта.
Если точка C находится между концами A и B, она разделяет отрезок AB на два отрезка: AC и CB. Каждый из них имеет свои концы, причём точка C является общим концом обеих частей. Такая запись показывает порядок точек: A — C — B.
Части AC и CB идут подряд и вместе составляют весь отрезок AB, поэтому их длины складываются: AB = AC + CB. Если две получившиеся части равны, точка деления находится на одинаковом расстоянии от обоих концов. Тогда её называют серединой, а длину каждой половины находят делением длины целого отрезка на 2.
В таблице собраны основные названия, обозначения и свойства изучаемых объектов. Сначала определите, о чём говорится в условии, затем найдите в последнем столбце нужное свойство или величину.
| Объект | Как обозначают | Что это такое | Что можно определить |
|---|---|---|---|
| Отрезок | AB или BA | Часть прямой между двумя точками | Концы и длину |
| Концы отрезка | A и B | Две точки, ограничивающие отрезок | Границы отрезка |
| Часть отрезка | AC, CB | Участок отрезка между двумя точками | Длину части и сумму частей |
| Длина отрезка | AB, AC, KL | Расстояние между концами | Длину целого или части |
| Середина отрезка | M | Точка, делящая отрезок на две равные части | Равенство половин и длину каждой половины |
Задача 1. На отрезке AB точка C находится между A и B. Нужно назвать все получившиеся отрезки и их концы. Рассуждаем по парам отмеченных точек, потому что отрезок задаётся двумя концами.
Ответ: AB, AC и CB; их концы соответственно A и B, A и C, C и B.
Задача 2. Длина AB равна 15 см, а AC = 7 см; точка C лежит между A и B. Весь отрезок состоит из частей AC и CB, поэтому неизвестную часть найдём вычитанием.
Ответ: CB = 8 см.
Задача 3. M — середина KL. Нужно найти KL, если KM = 4,5 см, и KM, если KL = 18 см. Середина даёт равенство KM = ML, поэтому целый отрезок в два раза длиннее одной половины.
Ответ: KL = 9 см в первом случае; KM = 9 см во втором.
Иногда луч или прямую называют отрезком, потому что смотрят только на нарисованный фрагмент. У прямой нет концов, а у луча есть лишь один конец. Проверьте объект с двух сторон: если границы две, это отрезок.
Некоторые считают AB и BA разными отрезками, поскольку буквы стоят в другом порядке. На самом деле обе записи называют участок между одними и теми же точками. Проверьте, совпадают ли пары концов.
При нахождении части иногда складывают длины, которые не составляют весь отрезок или не идут подряд. Сложение допустимо только для частей, полностью покрывающих целый отрезок без пропусков. Полезно сначала записать равенство AB = AC + CB.
Любую точку внутри отрезка иногда называют серединой. Но середина должна делить отрезок на равные части, а не просто находиться между концами. Сравните длины двух частей: без равенства точка серединой не является.
До изучения темы нужно уметь различать точку, прямую и луч, понимать порядок точек и измерять отрезки линейкой. Эти знания помогают правильно находить концы и длину.
Дальше свойства отрезков понадобятся при изучении ломаных, многоугольников, периметра и координатного луча. Во всех этих темах фигуры состоят из отрезков или опираются на расстояния между точками.
В задачах тема помогает строить середины, находить расстояния и вычислять неизвестную часть величины. Основной приём — представить целое как сумму последовательных частей.
Чем отрезок отличается от луча и прямой?
У отрезка есть два конца, поэтому он имеет ограниченную длину. Прямая не имеет концов, а луч имеет один конец и продолжается в одну сторону бесконечно.
Почему отрезки AB и BA считаются одним и тем же отрезком?
Обе записи называют один и тот же участок прямой между точками A и B. Порядок букв меняет направление перечисления концов, но не множество точек отрезка.
Может ли у отрезка быть больше двух концов?
Нет, у отрезка ровно два конца. Другие точки могут лежать внутри него и делить его на части, но концами они не становятся.
Как понять, что точка является серединой отрезка?
Точка должна лежать между концами отрезка. Кроме того, она должна делить отрезок на две равные части: например, AM = MB.
Как найти длину одной части отрезка, если известны длина всего отрезка и другая часть?
Из длины всего отрезка вычитают длину известной части. Если AB = AC + CB, то CB = AB − AC.
Урок 1. Отрезок и его части
