"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Составная задача — это задача, для решения которой нужны несколько связанных арифметических действий. Чтобы справиться с ней, недостаточно вычислить числа по порядку: нужно понять, что известно, что требуется найти и какие промежуточные величины помогут ответить на главный вопрос. План и схема показывают связи между данными, помогают выбрать действия и проверить, что каждый шаг действительно нужен. В конце важно оценить ответ и записать его с подходящей единицей измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Составная задача — задача, для решения которой нужно выполнить несколько связанных действий. Она отличается от простой тем, что сразу ответить на главный вопрос нельзя: сначала приходится найти одну или несколько промежуточных величин. Это понятие помогает не воспринимать вычисления как набор случайных шагов, а видеть, как один результат используется для получения следующего.
Простая задача — задача, для ответа на вопрос которой достаточно одного арифметического действия. Например, если известно, сколько предметов было и сколько добавили, одним сложением можно найти новое количество. В составной задаче такая простая задача становится отдельным шагом: её ответ может понадобиться, чтобы решить следующую.
План решения — порядок действий, необходимый для ответа на вопрос задачи. В плане каждому шагу соответствует вопрос: сначала выясняют, какую величину можно найти по известным данным, затем — как использовать её дальше. План нужен, чтобы не пропустить промежуточный результат и понимать, зачем выполняется каждое действие.
Схема задачи — краткое наглядное представление данных и связей между ними. Её можно составить с помощью чисел, подписей, отрезков или стрелок, не заменяя ею само решение. Схема помогает увидеть, какие величины сравниваются или объединяются, и наметить подходящие действия.
Перед вычислениями нужно разобраться в условии: отделить известные данные от того, что требуется узнать. Иначе можно начать считать, не понимая, что именно должно означать полученное число. Полезно сформулировать главный вопрос своими словами и отметить, какие данные к нему относятся. Тогда становится яснее, достаточно ли их для ответа сразу или сначала нужно найти что-то ещё.
Если данных для главного вопроса пока недостаточно, задачу делят на простые промежуточные задачи. Для каждой формулируют отдельный вопрос и проверяют, можно ли ответить на него по известным величинам. Затем выясняют, какой из промежуточных ответов понадобится дальше. Такая цепочка показывает зависимость шагов: результат одного вычисления становится данными для следующего.
Действие выбирают по смыслу отношения между величинами. Если к имеющемуся количеству что-то добавили, обычно находят новое количество сложением; если часть убрали — вычитанием. Когда одинаковых групп несколько, может понадобиться умножение, а при равном распределении или поиске размера одной группы — деление. Однако слова сами по себе не диктуют действие: важно понять, что именно происходит с величинами в условии.
Решение можно оформить по действиям с пояснениями или записать одним выражением. В первом случае пояснение называет найденную величину, во втором скобки помогают сохранить нужный порядок вычислений. Любая запись должна совпадать с планом: первое действие отвечает на первый промежуточный вопрос, а последующие используют полученные результаты. Если пояснение не подходит к вычислению, стоит ещё раз проверить рассуждение.
После вычислений ответ проверяют не только повторным счётом. Нужно оценить, подходит ли результат к ситуации: например, остаток не должен быть больше количества, которое было до продажи. Затем сверяют ответ с главным вопросом и указывают нужную единицу измерения. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении, выборе действия или формулировке ответа.
| Этап | Что выяснить или сделать | Результат этапа |
|---|---|---|
| Анализ условия | Что известно, что требуется узнать, какие величины связаны? | Понятны данные и главный вопрос |
| Определение промежуточного вопроса | Какой величины пока не хватает и можно ли её найти? | Намечена последовательность вопросов |
| Выбор действия на каждом шаге | Как связаны величины в этом шаге? | Выбраны действия с опорой на смысл |
| Запись решения | Как показать ход вычислений и их смысл? | Получена запись по действиям или выражение |
| Проверка ответа | Правдоподобен ли результат и отвечает ли он на вопрос? | Ответ проверен и записан с единицей |
Пользуйся таблицей как последовательностью вопросов, а не как формальным списком. Переходи к следующему этапу, когда понятно, что получилось на предыдущем. Если на проверке обнаружилось противоречие, вернись к тому шагу, где выбрал действие или использовал данные.
Задача 1. В коробке было 18 карандашей. В неё положили ещё 7, а затем 9 карандашей взяли. Сколько карандашей осталось в коробке? Сначала нужно узнать, сколько стало после пополнения, потому что именно из этого количества затем убрали карандаши. Следовательно, действия идут не просто вслед за числами в условии: каждое отвечает на отдельный вопрос.
Ответ: в коробке осталось 16 карандашей. Выражением решение можно записать так: 18 + 7 − 9 = 16. Порядок действий здесь сохраняет тот же ход рассуждений.
Задача 2. Для класса купили 4 набора по 6 тетрадей и ещё 8 отдельных тетрадей. Сколько всего тетрадей купили? Число тетрадей в наборах пока неизвестно, поэтому сначала находим его умножением: одинаковых наборов четыре, в каждом по шесть тетрадей. Только после этого можно прибавить отдельные тетради и получить общее количество.
Ответ: всего купили 32 тетради. Одним выражением решение записывается так: 4 × 6 + 8 = 32. Сначала умножение находит количество в наборах, затем сложение учитывает отдельные тетради.
Задача 3. В магазин привезли 5 ящиков по 12 кг яблок. До обеда продали 18 кг, а после обеда — на 6 кг больше. Сколько килограммов яблок осталось? Здесь необходимо найти и привезённую массу, и продажи после обеда, и общую массу проданных яблок. Лишь после этого можно вычислить остаток, поэтому промежуточные ответы последовательно используются дальше.
Ответ: осталось 18 кг яблок. Все промежуточные величины нужны: без массы привезённых яблок нельзя найти остаток, а для общей продажи требуется знать обе продажи. Результат меньше привезённой массы, а килограммы во всех действиях сопоставимы — это поддерживает проверку ответа.
Выполнять действия в порядке появления чисел — значит подменять рассуждение механическим счётом. Так поступают, когда ориентируются на текст, а не выясняют, как связаны величины. Проверь себя: сформулируй вопрос к каждому действию и объясни, почему оно подходит. Если пояснение не соответствует ситуации, последовательность нужно пересмотреть.
Пропуск промежуточного вопроса приводит к тому, что в вычислении используют величину, которую ещё не нашли. Это случается, когда ученик видит главный вопрос, но не замечает, что данных для ответа пока не хватает. Перед каждым действием спроси себя, известны ли все числа, которые в него входят. Если нужная величина ещё не получена, сначала найди её отдельным шагом.
Складывать или вычитать величины с разными единицами нельзя: например, килограммы нельзя напрямую объединить с метрами. Ошибку допускают, если смотрят только на числа и забывают, что именно измеряет каждое из них. Подпиши единицы у данных и сравни их перед вычислением. Если единицы различаются, выясни, можно ли перевести их к одним и только после этого считай.
Записать одно число без проверки и ответа — значит оставить решение незавершённым. Так происходит, когда всё внимание уходит на вычисления, а главный вопрос теряется. Проверь, правдоподобен ли результат и соответствует ли он ситуации, затем назови найденную величину с единицей измерения. Такая формулировка показывает, что получено именно то, о чём спрашивали.
Для составных задач нужны умения решать простые задачи на сложение, вычитание, умножение и деление. Полезно также понимать связи между величинами: например, как общее количество связано с числом одинаковых групп и количеством предметов в каждой. Если эти основы знакомы, легче выбрать действие для каждого шага. Если возникают затруднения, стоит сначала разобрать соответствующую простую задачу.
План и схема пригодятся в сюжетах, где несколько действий связаны между собой. Это задачи на движение, покупки, работу и другие ситуации: сначала находят промежуточную величину, затем используют её для ответа. Схема помогает упорядочить данные, а план — не потерять последовательность рассуждений. Поэтому навык полезен не только для одного типа условий.
Как понять, что задача составная?
Если для ответа нужно найти промежуточную величину, а затем использовать её в следующем вычислении, задача составная. Значит, одного арифметического действия недостаточно.
Как определить, какое действие выполнять первым?
Сначала выясни, какую величину можно найти по известным данным и понадобится ли она дальше. Выбирай действие по смыслу отношений между величинами, а не по порядку чисел в условии.
Обязательно ли решать задачу по действиям?
Нет: решение можно записать по действиям с пояснениями или одним выражением. Но сначала всё равно нужно понять последовательность вычислений; запись по действиям обычно помогает её увидеть.
Когда удобнее составить схему задачи?
Схема особенно полезна, когда в условии несколько величин и связей между ними. Она помогает увидеть, что известно, что нужно найти и какие данные относятся друг к другу.
Как проверить ответ, если в условии несколько действий?
Проверь, что каждое промежуточное вычисление соответствует условию, а итог отвечает на главный вопрос. Затем оцени, правдоподобно ли число, и укажи правильную единицу измерения.
Урок 10. Решение составных задач
