"Математика (в 3 частях)", Петерсон Л.Г.
Величины описывают свойства предметов: длину, массу, время и другие характеристики, которые можно измерять и сравнивать. Чтобы работать с ними, выбирают единицу измерения и находят числовое значение — число, показывающее результат измерения. Главное правило темы: сравнивать и складывать можно только однородные величины, выраженные в одинаковых единицах. При смене единицы меняется число, но не сама величина.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однородные величины — величины одного вида, которые можно сравнивать и складывать: длины с длинами, массы с массами. Например, 4 м и 70 см однородны, а 4 м и 70 кг — нет. Это понятие помогает понять, какие действия имеют смысл.
Единица измерения величины — величина, выбранная за меру для сравнения и выражения других величин того же вида. Для длины используют миллиметр, сантиметр, метр, километр, для массы — грамм и килограмм. Единица нужна, чтобы результаты измерений можно было записывать и сравнивать.
Измерение величины — сравнение её с выбранной единицей измерения. Например, измерить длину ленты в сантиметрах означает узнать, сколько сантиметров укладывается в этой длине. Такое сравнение заменяет непосредственное прикладывание величин числом и единицей.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько раз единица измерения содержится в измеряемой величине. В записи 5 кг число 5 является числовым значением, а килограмм — единицей. При выборе другой единицы число изменится, поэтому единицу всегда записывают рядом.
Сравнивать и складывать можно только однородные величины, потому что такие действия объединяют или сопоставляют одно и то же свойство. Сложение 3 м и 2 м означает объединение двух длин, а выражение «3 м + 2 кг» не описывает понятную величину. Поэтому сначала проверяют не только числа, но и смысл единиц за ними.
Если однородные величины выражены одной единицей, их сравнение сводится к сравнению числовых значений. Например, 6 м больше 4 м, потому что 6 больше 4. При разных единицах сначала выполняют перевод: 3 м = 300 см, после чего сравнивают 300 и нужное число сантиметров.
Сумма величин одного вида снова является величиной того же вида, потому что объединяется одно и то же свойство. Длина одной ленты плюс длина другой дают общую длину. Её числовое значение зависит от единицы: одна и та же сумма может быть записана как 2 м или 200 см.
Изменение единицы измерения не меняет сам объект или его свойство, а меняет только способ счёта. При переходе к более мелкой единице в одной крупной единице помещается больше мелких, поэтому числовое значение увеличивается. Так, 1 м = 100 см, хотя речь идёт об одной и той же длине.
Умножение величины на число означает увеличение или уменьшение этой величины в указанное число раз. Если длину 4 м умножить на 3, получится 12 м, то есть три одинаковые длины по 4 м. Деление величины на число означает разделение на равные части: 12 м : 4 = 3 м.
| Действие | Что получается | Условие применения | Как работать с числовыми значениями |
|---|---|---|---|
| Сравнение | Бóльшая, меньшая или равная величина | Величины должны быть однородными | Привести к одной единице и сравнить числа |
| Сумма | Величина того же вида | Складываются однородные величины | Перевести в одну единицу, сложить числа |
| Разность | Величина того же вида | Вычитаемая величина однородна уменьшаемой | Перевести в одну единицу, вычесть числа |
| Умножение величины на число | Величина того же вида | Множитель — число | Умножить числовое значение, единицу сохранить |
| Деление величины на число | Величина того же вида | Делитель — число, обычно число равных частей | Разделить числовое значение, единицу сохранить |
| Переход к другой единице измерения | Та же величина в новой записи | Единицы должны относиться к одному виду | Умножить или разделить число на переводной коэффициент |
Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: сначала определите вид величин и выберите общую единицу. Затем выполните действие только с числовыми значениями, не забыв сохранить единицу результата. После вычислений проверьте, соответствует ли ответ условию и разумен ли его размер.
Величины однородны, но записаны в разных единицах. Нельзя сразу сравнивать числа 3 и 280, потому что они относятся к метрам и сантиметрам. Переведём метры в сантиметры, чтобы получить общую единицу.
Ответ: 3 м > 280 см.
Периметр — это сумма длин всех сторон прямоугольника. Сначала приведём стороны к одной единице, иначе складывать числа 4 и 250 нельзя. У прямоугольника каждая сторона встречается дважды.
Ответ: 1300 см, или 13 м.
Речь идёт о делении величины на число равных частей. Сначала найдём длину одной части в метрах, а затем переведём её в сантиметры. Такой порядок удобен, потому что исходная длина уже дана в метрах.
Ответ: длина одной части равна 300 см.
Сравнивают или складывают неоднородные величины. Ошибка появляется, когда обращают внимание только на числа и забывают смысл единиц: длина и масса не превращаются в один вид. Проверьте, можно ли назвать обе величины одним словом, например «длина».
Складывают числа в разных единицах. Так получают неверный результат, потому что 1 метр и 1 сантиметр — не равные меры. Перед действием подчеркните единицы и переведите все величины в одну из них.
Считают, что при переходе к мелкой единице сама величина становится больше. На самом деле больше становится только число: 1 м и 100 см обозначают одну длину. Для проверки замените новую запись обратно на прежнюю.
Записывают ответ без единицы или с неподходящей единицей. Число без единицы не сообщает, что именно измерено, а неправильная единица меняет смысл ответа. Сверьте единицу с вопросом задачи и допишите её после числа.
До изучения свойств величин нужно знать единицы длины, массы и времени, а также правила перевода между ними. Эти знания используются в задачах на измерения, движение, периметр и площадь. Представление о числовом значении величины пригодится при работе с формулами и зависимостями между величинами.
Что называют однородными величинами?
Однородные величины — это величины одного вида: две длины, две массы или два промежутка времени. Их можно сравнивать, складывать и вычитать, потому что они описывают одно и то же свойство.
Почему перед сложением величин их нужно выразить в одинаковых единицах?
Числа можно складывать напрямую только тогда, когда за ними стоят одинаковые единицы. Например, сначала 2 м переводят в 200 см, а затем складывают 200 см и 35 см.
Меняется ли величина, если перейти к другой единице измерения?
Нет, сама величина остаётся прежней. Меняется только её числовое значение: 1 м и 100 см обозначают одну и ту же длину.
Можно ли сложить длину и время?
Нет, длина и время — неоднородные величины. Их сумма в обычных задачах не имеет смысла, потому что они описывают разные свойства.
Как найти величину, полученную при делении на число равных частей?
Нужно разделить числовое значение величины на число равных частей, сохранив единицу измерения. Если требуется другая единица, результат затем переводят в неё.
Уроки 7-9. Свойства величин
