Урок 6. Величины. Объем

Определения и обозначения

Величина — это свойство предмета или явления, которое можно измерить и выразить числом с выбранной единицей. Например, длина стола может быть 2 м, а не просто «2»: число без единицы не сообщает, что именно измерено. Такое различие нужно, чтобы правильно выполнять вычисления и сравнивать результаты.

Объём — величина, характеризующая, сколько места занимает тело в пространстве. Объём есть у куба, мяча, коробки, камня и любого другого тела, даже если его форма не похожа на прямоугольник. Знание объёма помогает сравнивать тела и определять, сколько вещества или жидкости в них может поместиться.

Единица объёма — объём, выбранный за единицу измерения. Кубический сантиметр, или см³, — это объём куба с ребром 1 см, а кубический метр, или м³, — объём куба с ребром 1 м. Такие единицы позволяют измерять тела разного размера одним понятным способом.

Кубический дециметр, или дм³, — ещё одна единица объёма; её также называют литром и записывают л. Поэтому 1 дм³ = 1 л: литр равен объёму куба, каждое ребро которого имеет длину 1 дм. Эта связь особенно удобна при измерении вместимости сосудов.

Как это устроено

Измерение объёма сводится к сравнению тела с выбранной единицей: выясняют, сколько единичных объёмов помещается внутри тела. Если в коробке можно разместить 24 кубика объёмом 1 см³, её объём равен 24 см³. Такой способ объясняет смысл числа, стоящего рядом с единицей объёма.

Объём куба с ребром в одну единицу длины принимают за кубическую единицу, потому что куб заполняет пространство сразу по трём направлениям. У него длина, ширина и высота равны одной единице, поэтому получается см³, дм³ или м³. Индекс 3 показывает, что учитываются три измерения, а не только одна длина.

Если ребро куба увеличить в несколько раз, число единичных кубиков возрастёт в третьей степени. Например, при увеличении каждого ребра в 10 раз по длине, ширине и высоте кубиков станет 10 · 10 · 10 = 1000 раз больше. Поэтому 1 м³ = 1000 дм³ и 1 дм³ = 1000 см³, ведь 1 м = 10 дм и 1 дм = 10 см.

У прямоугольного параллелепипеда единичные кубики образуют ровные слои. В одном слое помещается длина, умноженная на ширину, а количество слоёв определяется высотой. Поэтому объём находят так: V = a · b · h, где a, b и h должны быть выражены в одной единице длины.

При сравнении объёмов сначала приводят их к одной единице, поскольку одинаковые числа с разными единицами могут обозначать разные величины. Например, 2 м³ нельзя напрямую сравнить с 1500 дм³ по числам 2 и 1500. После перевода 2 м³ = 2000 дм³, и сравнение становится правильным.

Единицы объёма и их соотношения

Сначала определите, в каких единицах записаны данные, а затем выберите удобную единицу для ответа. При переходе к соседней большей единице число обычно делят на 1000, а при переходе к меньшей — умножают на 1000. Проверяйте, что обозначение имеет третью степень: это помогает не спутать объём с длиной или площадью.

Разбор задач

Задача 1

Сколько кубических сантиметров составляет объём куба с ребром 1 см? Нужно связать название единицы с самим единичным кубом. У такого куба все три измерения равны 1 см.

1. Записываем формулу объёма куба: V = a · a · a.
2. Подставляем длину ребра: V = 1 · 1 · 1 = 1.
3. Указываем кубическую единицу, потому что перемножены три длины.

Ответ: 1 см³. Это и есть объём куба с ребром 1 см, поэтому кубический сантиметр служит единицей объёма.

Задача 2

Выразим 3 дм³ в кубических сантиметрах. Линейное равенство 1 дм = 10 см нужно применить к каждому из трёх измерений куба. Поэтому коэффициент перевода возводим в третью степень.

1. Находим соотношение кубических единиц: 1 дм³ = 10³ см³.
2. Вычисляем: 10³ = 1000, значит, 1 дм³ = 1000 см³.
3. Переводим заданный объём: 3 · 1000 = 3000 см³.

Ответ: 3000 см³. Умножение на 1000 показывает, что один кубический дециметр состоит из тысячи кубиков объёмом 1 см³.

Задача 3

Найдём объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2 м, 30 см и 4 дм и запишем ответ в кубических дециметрах. Сначала все длины переведём в дециметры, потому что именно эта единица требуется в ответе.

1. 2 м = 20 дм, 30 см = 3 дм, 4 дм оставляем без изменения.
2. Перемножаем измерения: V = 20 · 3 · 4 = 240.
3. Записываем единицу объёма: результат выражен в дм³.

Ответ: 240 дм³. Если бы единицы не были приведены к общим, произведение 2 · 30 · 4 не имело бы правильного смысла.

Типичные ошибки

Переводить кубические единицы так же, как линейные, — ошибка. Часто забывают, что у объёма три измерения, поэтому вместо 1000 используют 10 или 100. Проверьте себя: при переходе от дм³ к см³ должно выполняться 10³ = 1000.

Записывать объём в квадратных единицах тоже неверно. Квадратные единицы измеряют площадь поверхности, а объём описывает заполненное пространство. Если в решении получились см² или м² после умножения трёх измерений, проверьте запись единицы.

Нельзя перемножать измерения параллелепипеда, записанные в разных единицах. Такую ошибку допускают, когда сразу подставляют числа в формулу, не выполнив перевод. Убедитесь, что все три длины имеют одну единицу до умножения.

Равенство 1 м³ = 100 см³ неверно, потому что масштаб меняется по длине, ширине и высоте. Правильно: 1 м³ = 100³ см³ = 1 000 000 см³. Для проверки представьте куб со стороной 100 см: в нём помещается 100 слоёв по 100 рядов из 100 кубиков.

Связь с другими темами

Для изучения объёма нужны знания единиц длины, переходов между ними, умножения натуральных чисел и десятичных дробей. Площадь и квадратные единицы помогают увидеть разницу между измерением поверхности и пространства. Позже объём понадобится при изучении вместимости, измерении жидкости и решении практических задач о телах.

Что запомнить

• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Объём измеряют кубическими единицами.
• 1 дм³ = 1 л.
• 1 м³ = 1000 дм³.
• 1 дм³ = 1000 см³.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
• Перед вычислением или сравнением объёмов единицы измерения приводят к одинаковым.