Урок  14. Порядок

Определения и обозначения

Порядок чисел — расположение чисел по величине. Сравнение показывает, какое число должно стоять раньше, если числа расставляют от меньшего к большему. Это понятие помогает не только сравнивать пары чисел, но и упорядочивать целые наборы.

Больше — отношение между числами, при котором первое число расположено правее второго на числовом луче. Его обозначают знаком >: например, 7 > 4 читают «семь больше четырёх». Это обозначение позволяет коротко записать результат сравнения.

Меньше — отношение, при котором первое число расположено левее второго на числовом луче. Для него используют знак <: запись 2 < 5 читают «два меньше пяти». Такая запись показывает тот же порядок чисел, но начинает сравнение с меньшего числа.

Равно — отношение чисел с одинаковым значением, обозначаемое знаком =. Например, 6 = 6 читают «шесть равно шести». Знак равенства нужен, чтобы показать, что сравниваемые числа не отличаются по величине.

Как это устроено

Числовой луч — это луч с началом, направлением и отмеченными числами. Обычно числа на нём увеличиваются вправо: каждое следующее деление соответствует большему значению. Поэтому положение точек сразу подсказывает результат сравнения: точка правее обозначает большее число, а левее — меньшее. Такой способ удобен тем, что сравнение становится видимым, а не зависит от того, в каком порядке числа произнесли.

Чтобы записать сравнение, сначала выясните, какое из двух чисел больше, а затем поставьте между ними подходящий знак. Если первое число больше второго, пишите a > b; если меньше — a < b; если значения совпадают — a = b. Знаки > и < читают слева направо, называя числа и отношение между ними. У знаков неравенства раскрытая сторона обращена к большему числу, поэтому запись можно проверить по смыслу.

Несколько чисел можно расположить по возрастанию, выбирая сначала наименьшее, затем наименьшее из оставшихся и так далее. Получившийся ряд проверяют сравнением соседних чисел: каждое следующее должно быть больше предыдущего или равно ему. Для порядка по убыванию действуют наоборот — начинают с наибольшего и каждый раз выбирают следующее меньшее число. Сравнение соседних чисел помогает заметить, если при записи случайно переставили два числа.

Числа могут быть представлены не только цифрами, но и точками на луче. Чтобы сравнить такие записи, сначала определите, какое число соответствует каждой точке, учитывая начало луча, направление и цену деления — значение одного промежутка. Затем сравните полученные значения обычным способом. Это важно, потому что вид или положение записи сами по себе не определяют величину: сравнивать нужно именно обозначенные числа.

Знаки сравнения и порядок чисел

Сначала найдите, как соотносятся числа, а затем выберите строку со знаком или видом порядка, который подходит. При проверке знака сравните числа на луче: раскрытая сторона должна смотреть на большее значение.

Разбор задач

Сравнить числа 6 и 9

Нужно установить, какое число больше, и записать результат с помощью знака. Сравнение можно выполнить на числовом луче: число, расположенное правее, будет больше. Затем останется выбрать знак, который соответствует найденному порядку. Проверим запись, прочитав её слева направо.

1. На числовом луче 9 находится правее 6, значит, 9 больше 6.
2. Если первым записано 6, оно меньше числа 9, поэтому между числами ставим знак <.
3. Получаем запись 6 < 9; она читается «шесть меньше девяти».

Ответ: 6 < 9.

Расположить числа 4, 1, 7, 3 по возрастанию

Порядок по возрастанию начинается с наименьшего числа. Чтобы не пропустить число, на каждом шаге выбираем самое маленькое из тех, которые ещё не записали. После этого проверяем, увеличивается ли значение при переходе от каждого числа к следующему. Числа в задании различны, поэтому соседние значения должны строго возрастать.

1. Из чисел 4, 1, 7 и 3 наименьшее — 1; ставим его первым.
2. Среди оставшихся чисел 4, 7 и 3 наименьшее — 3; записываем его следующим.
3. Из чисел 4 и 7 раньше ставим 4, а затем 7.
4. Проверяем соседние пары: 1 < 3, 3 < 4 и 4 < 7.

Ответ: 1, 3, 4, 7.

Расположить точки A, B и C по лучу и сравнить числа

Точке A соответствует число 5, точке B — число 2, а точке C — число 8. Требуется записать точки в порядке их расположения на луче, а затем сравнить числа, которым они соответствуют. На числовом луче движение слева направо означает увеличение значения. Поэтому сначала упорядочим числа, а потом заменим их обозначениями точек.

1. Сравниваем значения: 2 меньше 5, а 5 меньше 8.
2. Значит, слева направо точки стоят так: сначала B, затем A, затем C.
3. Записываем соответствующий порядок чисел: 2 < 5 < 8.
4. Проверяем соответствие: B обозначает 2, A — 5, C — 8.

Ответ: B, A, C; 2 < 5 < 8.

Типичные ошибки

Знаки > и < можно перепутать, если смотреть только на их остриё. Так бывает, потому что знак кажется стрелкой, хотя его стороны показывают, где находится большее число. Раскрытая часть направлена к большему, а остриё — к меньшему. Для проверки прочитайте запись словами и сравните её с числовым лучом.

Нельзя считать, что число больше только потому, что оно записано позже или содержит больше цифр. Такая ошибка возникает, когда порядок записи принимают за порядок значений. Например, важно выяснить, что обозначают числа, а не где они стоят в условии. Проверьте сравнение по значению каждого числа или отметьте их на луче.

При убывании числа иногда случайно записывают от меньшего к большему. Это происходит, если ориентироваться на привычный порядок возрастания и не перечитать условие. В убывающем ряду каждое следующее число должно быть меньше предыдущего. Проверьте начало и конец записи: первым должно стоять наибольшее число, последним — наименьшее.

Сравнивая числа, можно забыть учесть положение соответствующих точек на числовом луче. Тогда направление записи или расположение подписей ошибочно принимают за величину числа. На луче большее число всегда правее, а меньшее — левее. Чтобы проверить ответ, сопоставьте каждое число с его точкой и сравните их положения.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел на луче нужно знать натуральные числа и уметь отмечать их положения. Если точка находится между делениями, важно также понимать, какое значение соответствует промежутку. Эти навыки помогают читать координаты точек и выполнять действия с числами. Сравнение понадобится и при решении неравенств, где требуется найти числа, удовлетворяющие условию.

Что запомнить

• На числовом луче правее расположено большее число.
• На числовом луче левее расположено меньшее число.
• Знак > читают «больше», знак < — «меньше», знак = — «равно».
• При порядке по возрастанию числа идут от меньшего к большему.
• При порядке по убыванию числа идут от большего к меньшему.