Урок 27. Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — это установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Например, при сравнении 4 и 7 мы выясняем, какое число стоит раньше в порядке чисел. Это нужно, чтобы упорядочивать числа и правильно решать задачи.

Знаки сравнения > и < обозначают отношения «больше» и «меньше». Острый конец знака направлен к меньшему числу, а раскрытая часть — к большему. Поэтому запись 3 < 8 сразу показывает, какое число меньше.

Равные числа — это числа, которые обозначают одно и то же значение. Их записывают со знаком =, например 6 = 6. Равенство помогает показать, что слева и справа находятся одинаковые количества.

Числовой луч — это луч с началом, единичным отрезком и направлением, на котором числам соответствуют точки. Единичный отрезок показывает расстояние между соседними числами. Такой луч помогает увидеть порядок чисел, а не только запомнить его.

Как это устроено

На числовом луче каждому числу соответствует своя точка, потому что от начала луча откладывают одинаковые единичные отрезки. Направление луча задаёт порядок: при движении вправо каждый следующий шаг увеличивает число на единицу. Поэтому точки чисел располагаются не случайно, а в определённой последовательности.

Если точка одного числа находится правее точки другого, первое число больше. Причина в том, что до правой точки нужно сделать больше единичных шагов от начала луча. Если точка левее, число меньше, так как оно получается после меньшего количества шагов.

Сравнение записывают неравенством, то есть записью со знаком > или <. Направление знака выбирают после того, как определяют, какое число больше и какое меньше. Например, если 10 правее 6, записывают 10 > 6, а эту же мысль можно выразить наоборот: 6 < 10.

Знак равенства используют, когда сравниваемые числа имеют одно и то же значение. На числовом луче это означает, что обеим записям соответствует одна точка. Проверить сравнение можно, расположив числа на луче или мысленно определив, какое из них находится правее.

Как записывать результат сравнения чисел

Сначала определите положение точек или представьте порядок чисел, а затем выберите строку таблицы. После записи прочитайте неравенство слева направо, чтобы проверить направление знака. Для равных чисел используйте только знак =.

Разбор задач

Задача 1. Сравнить числа 4 и 7

Нужно сравнить числа 4 и 7 и записать результат с помощью знака. На числовом луче точка 4 будет левее точки 7. Значит, число 4 меньше числа 7.

1. Представим или отметим на луче точки 4 и 7.
2. Определим, что точка 4 расположена левее, а точка 7 — правее.
3. Поставим острый конец знака у меньшего числа 4.

Ответ: 4 < 7.

Задача 2. Сравнить 12 и 9

Нужно не только сравнить числа, но и объяснить выбор знака. Число 12 находится правее числа 9, потому что для него от начала луча откладывают больше единичных отрезков. Поэтому 12 больше 9.

1. Находим на числовом луче точки 9 и 12.
2. Видим, что точка 12 расположена правее точки 9.
3. Записываем знак так, чтобы его острый конец был направлен к 9.

Ответ: 12 > 9. Словами: «двенадцать больше девяти».

Задача 3. Составить цепочку из чисел 3, 8 и 5

Нужно расположить числа в порядке возрастания и составить цепочку неравенств. Сначала сравним числа попарно: 3 меньше 5, а 5 меньше 8. Значит, промежуточным числом в цепочке будет 5.

1. Расположим числа от меньшего к большему: 3, 5, 8.
2. Между соседними числами поставим знак <.
3. Проверим цепочку по числовому лучу: точки идут слева направо в том же порядке.

Ответ: 3 < 5 < 8; порядок возрастания — 3, 5, 8.

Типичные ошибки

Знак > иногда путают со знаком <, особенно если смотреть только на его форму. Ошибка появляется, когда ученик не читает запись целиком. Проверьте себя словами и направьте острый конец к меньшему числу.

Некоторые считают, что левая точка всегда соответствует меньшему числу. Это неверно, если не учитывать направление луча: числа увеличиваются от начала вправо. Найдите начало и единичные отрезки, затем определите движение чисел.

Знак равенства иногда ставят для близких или соседних чисел. Но 6 и 7 не равны, даже если их точки расположены рядом. Равенство возможно только тогда, когда оба числа имеют одно и то же значение.

В цепочке неравенств можно проверить только одну пару и забыть об остальных. Тогда вся запись окажется неверной, даже если один знак выбран правильно. Сравните каждую соседнюю пару и убедитесь, что числа идут в одном порядке.

Связь с другими темами

До изучения сравнения нужно знать натуральные числа и уметь отмечать их на числовом луче. Эти навыки позволяют увидеть, где находится каждое число. Без них выбор знака будет основан только на догадке.

Сравнение опирается на представление о порядке чисел и направлении луча. Чем дальше точка находится вправо, тем больше соответствующее число. Поэтому числовой луч связывает запись неравенства с наглядным расположением чисел.

Умение сравнивать числа пригодится при упорядочивании чисел, решении неравенств и проверке вычислений. Оно также помогает быстро оценивать результаты действий. Если ответ нарушает ожидаемый порядок, вычисление стоит перепроверить.

Что запомнить

• Знак > читают «больше», знак < — «меньше».
• Острый конец знака направлен к меньшему числу.
• На числовом луче большее число расположено правее меньшего.
• Равные числа обозначают одно и то же значение.
• Сравнение можно проверить, отметив числа на числовом луче.
• В цепочке неравенств каждый соседний знак должен быть верным.