Урок  35. Точки и линии

Определения и обозначения

Точка — геометрический объект без размера. На чертеже её изображают маленькой отметкой и обозначают одной заглавной латинской буквой, например A или B. Так можно точно указать положение, не приписывая точке форму или длину.

Линия — след движения точки. Представь, что точка движется по листу и оставляет за собой след: так можно вообразить линию. Линии бывают прямыми и кривыми, поэтому это понятие помогает описывать разные пути и очертания.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца и которая продолжается в обе стороны. На рисунке можно показать только её часть, а обозначить прямую — двумя точками на ней или маленькой латинской буквой. Это различие нужно, чтобы не принять края чертежа за концы самой прямой.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Отрезок с концами A и B обозначают AB или BA. Такое название позволяет отличить выбранную часть линии от прямой, которая идёт дальше за её пределы.

Как это устроено

Точка нужна, чтобы показать положение, а не размер предмета. Например, на карте отметкой можно указать город, но сама отметка не означает, что город имеет размер этой точки. В геометрии точку поэтому рисуют маленькой точкой и подписывают заглавной буквой: подпись помогает различать несколько отмеченных мест. Чем точнее нужно читать чертёж, тем важнее не путать условную отметку с самим геометрическим объектом.

Линию удобно представлять как след движущейся точки: если точка перемещается, все места, где она побывала, образуют линию. Так становится понятным, почему линия может изгибаться или идти прямо. Если направление движения не меняется, получается прямая линия; если меняется — кривая. Это различие помогает описывать форму чертежа, не смешивая прямые участки с плавными изгибами.

Прямая не ограничена с двух сторон, поэтому её нельзя целиком изобразить на листе: она продолжалась бы за его границы. На чертеже проводят лишь часть прямой, а мысленно продолжают её в обе стороны. Две точки на этой части или маленькая латинская буква служат обозначением, а не указанием на концы прямой. Поэтому края нарисованного штриха не превращают прямую в отрезок.

Чтобы получить отрезок, на прямой выбирают две точки и рассматривают часть линии между ними. В отличие от прямой, эта часть имеет границы: выбранные точки ограничивают её с двух сторон. Концы входят в отрезок, поэтому он включает и точки между ними, и сами граничные точки. Это понятие удобно, когда нужно указать ограниченную длину, например расстояние между двумя отметками.

Через две различные точки можно провести только одну прямую. Если приложить к ним край линейки, он задаст нужное направление; другой прямой через те же точки провести нельзя. Это свойство объясняет, почему линейка подходит для построения прямой по двум точкам. Важно, чтобы точки не совпадали: одна точка сама по себе не задаёт единственное направление прямой.

Точка, прямая и отрезок

Сначала определи, какой объект показан: отдельную отметку, неограниченную прямую или ограниченную часть линии. Затем проверь границы и прочитай обозначение рядом с чертежом. Так таблица помогает не спутать прямую с отрезком.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Отметь на листе точки A и B и проведи через них прямую. Нужно получить прямую, а не отрезок AB, поэтому линия должна выступать за отмеченные точки. Действуем так, чтобы обе точки лежали на одной линии.

1. Поставь две разные маленькие отметки и подпиши их заглавными буквами A и B.
2. Приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе отметки: две точки задают единственное направление.
3. Проведи ровную линию, продолжив её за точки A и B в обе стороны. На чертеже это будет часть прямой.

Ответ. Проведена прямая через A и B. Её можно обозначить по этим точкам или маленькой латинской буквой.

Задача 2

Условие. На прямой отметь точки A и B. Назови отрезок с концами A и B и покажи его на рисунке. Здесь важно выделить не всю прямую, а только часть, которая ограничена выбранными точками. Сами точки при этом тоже относятся к отрезку.

1. Найди на прямой две отметки A и B и убедись, что они различны.
2. Проследи линию от A до B, не продолжая выделение за эти точки.
3. Обведи или подчеркни только эту часть вместе с концами и подпиши её AB.

Ответ. Искомый отрезок — AB; на рисунке он занимает часть прямой от A до B включительно.

Задача 3

Условие. На прямой изображены две точки C и D. Нужно определить, сколько отрезков с концами в этих точках можно выделить и как их обозначить. Нас интересует часть между двумя заданными точками, а не участки прямой по сторонам от них. Порядок букв в названии отрезка можно поменять.

1. Выбери C и D в качестве концов будущего отрезка.
2. Проследи только часть прямой между ними, включая обе точки.
3. Запиши название отрезка двумя буквами: CD; запись DC обозначает тот же отрезок.

Ответ. Можно выделить один отрезок с этими концами: CD, или DC. Если точки различны, между ними находится одна часть прямой с выбранными концами.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что нарисованная точка имеет заметный размер. На бумаге так кажется, потому что совсем невидимую отметку было бы трудно найти. Но размер чернильной точки — только условность изображения, а геометрическая точка размера не имеет. Проверь себя: подпись A называет положение, а не величину отметки.

Ошибка: принимать нарисованную прямую за объект с концами. Край бумаги или карандашная черта действительно где-то заканчиваются, поэтому рисунок может сбить с толку. Однако на чертеже показана лишь часть прямой, продолжающейся в обе стороны. Проверь себя: если речь о прямой, края нарисованного штриха не называют её концами.

Ошибка: включать в отрезок продолжение за отмеченные точки. Такое случается, когда отрезок путают с прямой, на которой он лежит. Отрезок содержит только часть между концами и сами концы. Проверь себя: проследи линию от одной граничной точки до другой — всё за ними уже не относится к этому отрезку.

Ошибка: путать обозначения прямой и отрезка. Одни и те же буквы могут называть точки, поэтому запись сама по себе не всегда показывает, какой объект имеется в виду. Нужно учитывать чертёж и формулировку: линия без концов — прямая, часть между концами — отрезок. Проверь себя, спросив, указаны ли границы выбранной части.

Связь с другими темами

Для работы с точками, прямыми и отрезками пригодятся навыки пользования линейкой, различения заглавных латинских букв и аккуратной разметки листа. Эти простые действия нужны, чтобы чертёж был понятным и построение проходило через нужные точки. Позже на основе прямых и отрезков изучают лучи, углы, многоугольники и геометрические построения. Поэтому умение различать объекты помогает понимать устройство более сложных фигур.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Линии бывают прямыми и кривыми.
• Прямая не имеет начала и конца.
• На чертеже прямую изображают лишь частью.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Через две различные точки проходит одна прямая.