Урок  37. Области и границы

Определения и обозначения

Область — часть плоскости, которую рассматривают как единое целое. Её можно задать словами, описав участок, или показать на чертеже вместе с ограничивающей линией. Область не следует путать с отдельной линией: она включает точки плоскости, а линия состоит только из точек самой линии.

Граница области — линия, отделяющая область от остальной части плоскости. Например, границей участка на чертеже может быть замкнутая ломаная. Граница может быть частью рассматриваемой фигуры, поэтому при описании фигуры нужно уточнить, входит ли линия в область или рассматривается отдельно.

Внутренняя область — часть плоскости внутри замкнутой границы, не включая саму границу. Точки этой части находятся по внутреннюю сторону линии, а не на ней. Это определение помогает отличить собственно внутренность фигуры от её края.

Внешняя область — часть плоскости снаружи замкнутой границы. Она состоит из точек, которые не лежат ни внутри границы, ни на самой линии. Понятие нужно, чтобы точно указать, где находится точка относительно фигуры.

Как это устроено

Представь замкнутую ломаную, нарисованную на листе, и закрась часть листа внутри неё. Линия и закрашенный участок — разные объекты: линию можно обвести пальцем, а область занимает место по одну из её сторон. Если оставить только линию, внутренние точки не исчезнут с листа, но сама линия не станет областью. Такое различие нужно, чтобы не называть контуром всю фигуру.

Замкнутая линия возвращается к начальной точке и не имеет разрыва, поэтому она отделяет внутреннюю часть плоскости от внешней. Если в контуре есть разрыв, можно пройти из одной стороны линии на другую, не пересекая её, и однозначно выделить внутренность уже нельзя. При этом точка на самой линии не находится ни по внутреннюю, ни по внешнюю сторону. Поэтому её положение рассматривают отдельно.

Чтобы определить положение точки, сначала сравни её с границей. Если точка лежит прямо на линии, ответ — на границе; если нет, установи, с какой стороны она находится. Точка по внутреннюю сторону относится к внутренней области, а точка снаружи — к внешней. Эта проверка важна, потому что по одному только близкому расположению к краю нельзя решить, лежит ли точка внутри или на линии.

Граница не обязательно состоит из прямых отрезков. У многоугольника она образована отрезками, соединёнными в замкнутую ломаную, а у круга границей служит замкнутая линия без углов. Значит, определяющим свойством является не вид линии, а то, что она ограничивает рассматриваемую часть плоскости. По этому признаку можно сравнивать фигуры с разными контурами.

Представь задачу, где нужно обозначить территорию на плане. Чтобы было понятно, какую часть плана считают участком, нужно показать линию, отделяющую его от окружающего места. Дорожка внутри участка может быть важным объектом, но она не ограничивает всю территорию. Поэтому сначала находят линию, которая обводит участок целиком, и только потом описывают положение остальных линий и точек.

Область, её граница и положение точки

В таблице собраны признаки четырёх понятий. Сначала определи, рассматриваешь ли ты саму часть плоскости или линию, которая её ограничивает. Затем отнеси точку к внутренней, внешней части или к границе.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены замкнутая линия и три точки. Определите, какая точка находится внутри, какая — снаружи, а какая — на границе. Поскольку рисунка перед нами нет, разберём способ, по которому можно определить положение каждой из трёх точек. Обозначим их А, Б и В.

1. Сначала рассматриваем точку А и проверяем, совпадает ли она с линией. Если не совпадает, определяем, находится ли она внутри замкнутого контура или за ним.
2. Точно так же проверяем точку Б. Если она лежит прямо на линии, называем её точкой на границе, даже если она очень близко к внутренней части.
3. Повторяем проверку для точки В и записываем три положения отдельно: внутри, снаружи и на границе. Каждая точка должна получить только одно из этих описаний.

Ответ: без самого рисунка нельзя назвать буквы точек. На конкретном чертеже нужно применить проверку к каждой точке, не считая точку на линии внутренней.

Задача 2. Нарисуйте замкнутую ломаную, выделите ограниченную ею область и отметьте на рисунке точку внутри, точку вне области и точку на границе. Удобно начать с контура, потому что он задаёт форму и помогает увидеть, где проходят внутренние и внешние части. Затем выберем точки с разным положением.

1. Нарисуй несколько отрезков так, чтобы конец последнего совпал с началом первого. Получится замкнутая ломаная, например контур четырёхугольника.
2. Обведи или закрась часть плоскости внутри контура, не закрашивая саму линию. Это будет ограниченная область и её внутренняя часть.
3. Поставь первую точку внутри контура, вторую — далеко за его пределами, а третью — на одном из отрезков. Подпиши их, чтобы различать положения.

Ответ: рисунок должен содержать замкнутую ломаную, точку во внутренней области, точку во внешней области и точку на границе. Проверь, что точка на отрезке не отмечена как внутренняя.

Задача 3. На плане участка обозначены граница территории, дорожка внутри неё и точка за пределами участка. Определите, какие из изображённых линий являются границей области, и объясните положение каждой точки. Здесь важно не принять любую линию на плане за контур территории. Дорожка может проходить внутри участка и не делить его внешнюю часть от внутренней.

1. Найди замкнутую линию, которая обводит территорию целиком. Она отделяет участок от окружающего пространства, поэтому является границей области.
2. Проверь дорожку: если она проходит внутри контура и не обводит территорию снаружи, это внутренняя линия, а не граница всего участка.
3. Сравни положение отмеченной точки с внешним контуром. Если точка находится за ним и не лежит на линии, она принадлежит внешней области.

Ответ: граница — замкнутая линия вокруг территории; дорожка внутри участка не является границей всего участка. Точка за внешним контуром находится вне области.

Типичные ошибки

Путать границу и область. Тогда линию считают всей фигурой, хотя граница — только контур, а область занимает часть плоскости по его сторону. Такую ошибку легко допустить, если на рисунке закрашена только линия или контур нарисован ярче остального. Проверь себя: можешь ли ты отдельно указать линию и точки внутри неё?

Называть точку на линии внутренней. Близость к внутренней части не означает, что точка лежит внутри: она может совпадать с границей. Эту ошибку допускают, когда не рассматривают положение точки отдельно от закрашенного участка. Проверь, пересекается ли отметка точки с линией контура; если да, называй её точкой на границе.

Считать, что любая линия ограничивает область. Незамкнутую линию часто принимают за контур, хотя через её конец можно перейти с одной стороны на другую, не пересекая её. Поэтому для разделения на внутреннюю и внешнюю части нужна замкнутая линия. Проверь, соединяются ли начало и конец контура и нет ли разрыва.

Путать внутреннюю линию с границей области. Дорожка или отрезок может проходить внутри участка, не отделяя его от остальной плоскости. Ошибка возникает, когда ориентируются на заметность линии, а не на её роль. Проверь: обводит ли линия область целиком или просто проходит внутри неё?

Связь с другими темами

Для работы с областью и границей нужно различать точку, линию, отрезок, ломаную и замкнутую линию. Эти понятия помогают описывать, из чего составлен контур и где он проходит. Без них трудно проверить, замкнута ли граница.

Понятия границы пригодятся при изучении многоугольников, круга и других геометрических фигур. Они позволяют отделять контур фигуры от её внутренней части. Это помогает точно говорить о положении точек относительно фигуры.

Представление об ограниченной части плоскости понадобится при дальнейшем изучении площади и планов. Сначала нужно понять, какую именно область рассматривают и где проходит её край. После этого можно сравнивать участки и описывать их на чертеже.

Что запомнить

• Область — часть плоскости, а граница — линия, которая её ограничивает.
• Замкнутая граница отделяет внутреннюю область от внешней.
• Точка может находиться внутри области, вне её или на границе.
• Точка на границе не является точкой внутренней области.
• Линия внутри области не обязательно является её границей.