Уроки 1-3. Величины. Длина

Определения и обозначения

Длина отрезка — характеристика, показывающая, насколько один отрезок протяжённее или короче другого. Её используют, чтобы сравнивать отрезки и задавать их размер. Длина относится к величинам: её можно измерить и выразить числом. Например, зная длины двух отрезков, можно определить, какой из них длиннее.

Единица длины — выбранный эталон, с которым сравнивают длину объекта. Сантиметром удобно измерять небольшие предметы и отрезки, дециметром — предметы покрупнее, а метром — рост человека, длину комнаты или расстояние. Общие единицы помогают записывать результаты так, чтобы их могли понять и сопоставить разные люди. Основные связи: 1 дм = 10 см, 1 м = 10 дм.

Измерение длины — процесс определения, сколько раз выбранная единица длины укладывается в измеряемом отрезке. Единицу мысленно или с помощью инструмента откладывают вдоль отрезка и считают укладывания. Так получают результат, который можно сравнить с другими измерениями. Чем точнее выполнено откладывание, тем надёжнее ответ.

Числовое значение длины — число, показывающее результат измерения, записанный вместе с названием единицы. В записи 7 см число 7 показывает количество сантиметров, а «см» сообщает, какая единица выбрана. Это нужно для однозначного понимания результата. Одного числа недостаточно: 7 см и 7 м обозначают разные длины.

Как это устроено

Чтобы сравнить два отрезка, их сначала можно приложить друг к другу и совместить начала. Если вторые концы совпадут, длины равны; если один выйдет дальше, соответствующий отрезок длиннее. Такое сравнение непосредственно показывает разницу, потому что отрезки оказываются рядом. Когда отрезки нарисованы на разных уровнях или их нельзя передвинуть, длину одного переносят на общий луч либо сравнивают с помощью промежуточного отрезка или измерения.

Для измерения нужна единица длины, потому что слова «короче» и «длиннее» не дают точного результата. Если один человек измеряет шагами, а другой — ладонями, их числа нельзя напрямую сопоставить: эталоны у них разные. Общие единицы превращают сравнение в понятную запись, например 12 см. Поэтому длины удобно сравнивать и складывать, когда они выражены в одинаковых единицах.

Результат получают, последовательно откладывая выбранную единицу вдоль отрезка и считая, сколько раз она поместилась. Считать нужно каждое одинаковое промежуточное расстояние, а не только места, где стоят отметки. Если единица укладывается целое число раз, это число и записывают рядом с её обозначением. Если единица не помещается целиком в конце, для более точного результата выбирают меньшую единицу.

Число, полученное при измерении, зависит от выбранной единицы. Сантиметр меньше дециметра в десять раз, поэтому в одном и том же отрезке сантиметров будет больше, чем дециметров. Например, длина 2 дм выражается как 20 см: физическая длина не изменилась, поменялась только единица записи. Это объясняет, почему нельзя сравнивать одни лишь числа, если единицы разные.

Чтобы измерить отрезок линейкой, совмести его начало с нулевой отметкой. Затем найди деление, у которого находится второй конец, и запиши длину с единицей измерения, например 6 см. Ноль важен потому, что он обозначает начало отсчёта: при правильном совмещении показание у второго конца сразу равно длине. Если начало оказалось у другой отметки, нужно вычесть показание начала из показания конца.

Единицы измерения длины и способы работы с ними

Выбирай единицу так, чтобы результат было удобно записать и представить. При переводе к меньшей единице число увеличивается, а к большей — уменьшается; сама длина остаётся прежней. Перед сравнением проверь, что обе величины выражены одинаковой единицей.

Разбор задач

Задача 1. Нужно сравнить два отрезка, изображённых на разных уровнях, поэтому их начала и концы не лежат на одной прямой. Просто посмотреть на расположение рисунков недостаточно: положение выше или ниже не говорит о длине. Перенесём один отрезок так, чтобы начала совпали, и сравним вторые концы.

1. Выберем общий луч — прямую с начальной точкой и направлением — или перенесём один отрезок на другой.
2. Совместим начала отрезков. Теперь расстояния от общей начальной точки можно сравнивать напрямую.
3. Посмотрим на вторые концы: тот, что дальше от начала, соответствует более длинному отрезку; совпавшие концы означают равные длины.

Ответ. Длиннее отрезок, чей второй конец после совмещения расположен дальше от общего начала. Если концы совпали, отрезки равны. Такой способ позволяет сравнить длины, не полагаясь на то, как отрезки расположены на рисунке.

Задача 2. Измерим отрезок линейкой и запишем длину в сантиметрах. Чтобы показание линейки совпало с длиной отрезка, нужно правильно выбрать начало отсчёта. Затем проверим отметку у второго конца и добавим обозначение единицы.

1. Положим линейку вдоль отрезка и совместим его первый конец с отметкой 0.
2. Найдём число у деления, рядом с которым находится второй конец. Например, если конец совпал с отметкой 6 см, длина равна шести сантиметрам.
3. Запишем число вместе с единицей: 6 см. Если конец не попал точно на отметку, проверим его положение и уточним измерение.

Ответ. Длина равна числу сантиметров от нулевой отметки до второго конца отрезка. В приведённом примере это 6 см. Если начало отрезка не у нуля, нужно отдельно учесть показание начала, а не считать показание конца всей длиной.

Задача 3. Длина первой ленты равна 3 дм 5 см, а второй — 40 см. Сравнить записи сразу нельзя, потому что первая длина дана в двух единицах, а вторая — только в сантиметрах. Переведём дециметры в сантиметры и тогда сравним величины.

1. Заменим 3 дм на сантиметры: 3 × 10 = 30 см.
2. Прибавим оставшиеся 5 см: 30 см + 5 см = 35 см.
3. Сравним 35 см и 40 см. У второй ленты на 5 см больше.

Ответ. Первая лента имеет длину 35 см, поэтому она короче второй, длина которой 40 см. Сравнение стало возможным после того, как обе длины были выражены в сантиметрах. Разность длин равна 40 − 35 = 5 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать число делений между отметками, начиная с отметки 1, а не с нуля. Её допускают, когда путают сами отметки с промежутками между ними: отметка 1 показывает один сантиметр от нуля, хотя до неё только один промежуток. Проверь себя, посчитав промежутки от начала отрезка до его конца. На линейке длина от нулевой отметки до 4 см равна четырём сантиметрам, а не трём.

Ошибка: измерять отрезок, не совмещая его начало с нулевой отметкой. Тогда показание второго конца включает ещё и расстояние от нуля до начала отрезка. Проверь, совпадают ли начало отрезка и отметка 0. Если они стоят у разных чисел, вычти показание начала из показания конца.

Ошибка: записать результат одним числом, например 8, без обозначения единицы. Так непонятно, получились сантиметры, дециметры или другая единица, а значит, результат нельзя точно сопоставить с другой длиной. После измерения проверь запись: рядом с числом должно стоять обозначение единицы, например 8 см. Число без единицы не является полной записью результата.

Ошибка: сравнивать числа в записях 4 дм и 35 см напрямую. Так можно решить, что 35 больше 4, хотя 4 дм — это 40 см и такая длина больше. Сначала переведи одну величину в единицу другой: 4 дм = 40 см. Затем сравнивай 40 см и 35 см.

Связь с другими темами

До изучения длины полезно уметь сравнивать предметы и отрезки, считать равные единичные отрезки и пользоваться линейкой. Также пригодятся сложение чисел и понимание того, что одинаковые величины можно записывать в разных единицах. Эти навыки помогают не только измерять, но и проверять полученные ответы.

Длина понадобится при изучении периметра — общей длины границы фигуры, а также расстояния и площади. Она встречается в задачах о времени и массе, где тоже нужно измерять величины и переводить их из одной единицы в другую. В текстовых задачах длина помогает представить условие и выбрать действие.

В геометрии длина отрезка нужна, чтобы сравнивать фигуры и строить отрезки заданного размера. Умение точно пользоваться линейкой превращает числовое условие в геометрическое построение. Поэтому правильное измерение связывает вычисления с изображением фигур.

Что запомнить

• Длина — это величина, характеризующая протяжённость отрезка или предмета.
• Измерить длину — значит узнать, сколько единиц длины укладывается в отрезке.
• Результат измерения записывают числом и единицей длины.
• При работе с линейкой начало отрезка совмещают с нулевой отметкой.
• Чем меньше единица измерения, тем больше её понадобится для измерения того же отрезка.
• Сравнивать и складывать длины можно непосредственно после приведения их к одной единице.
• Основные единицы длины связаны между собой определённым числом единиц меньшего размера.