Уроки 16-17. Число 0. Цифра 0

Определения и обозначения

Число 0 — число, которое обозначает отсутствие предметов или величин. Если на тарелке нет яблок, количество яблок равно нулю. Ноль нужно знать, чтобы обозначать пустое количество и правильно располагать его среди других чисел.

Цифра 0 — знак, которым записывают число 0. Кроме того, она показывает, что в некотором разряде нет единиц: например, в числе 10 нет единиц. Поэтому цифра 0 нужна не только для отдельной записи нуля, но и для построения многозначных чисел.

Нулевая точка — начальная точка числового луча, соответствующая числу 0. От неё вправо откладывают равные отрезки и получают отметки 1, 2, 3 и так далее. Такое начало помогает видеть порядок чисел и измерять расстояние между ними.

Соседние числа — числа, расположенные рядом в числовом ряду. В его начале рядом стоят 0 и 1: после 0 идёт 1. Знание этой пары помогает не пропускать ноль при счёте и правильно начинать последовательность.

Как это устроено

При счёте можно пересчитать один предмет, два предмета и так далее, но иногда предметов нет совсем. Такое пустое множество нельзя оставить без обозначения, если нужно записать результат счёта. Поэтому ему ставят в соответствие число 0: оно сообщает, что предметов не было ни одного.

Число и цифра связаны, но обозначают разные вещи. Когда мы говорим «ноль яблок», речь идёт о количестве, а запись «0» является знаком этого количества. Отдельная цифра нужна потому, что математические записи должны быть короткими и понятными для всех.

На числовом луче ноль помещают в начальную точку, потому что отсчёт расстояний удобно вести от выбранного начала. Справа от нулевой точки откладывают одинаковые отрезки, и каждая следующая отметка увеличивает число на 1. Так становится видно, что 1 находится после 0, а расстояние между соседними числами равно одной единице.

В многозначной записи каждая позиция отвечает за свой разряд: единицы, десятки, сотни. Если в каком-то разряде нет единиц, его место всё равно должно сохраниться, и тогда ставят цифру 0. Например, в числе 105 ноль показывает отсутствие десятков, а не отсутствие всего числа.

Смысл действий объясняет свойства нуля. Прибавление нуля не добавляет предметов, поэтому количество остаётся прежним: a + 0 = a. Вычитание нуля не убирает предметов, поэтому a − 0 = a; если же из числа вычесть столько же, сколько в нём есть, получится 0.

Число 0 и цифра 0

Сначала определите, о количестве или о знаке записи говорится в условии. Если нужно понять значение цифры внутри числа, рассмотрите её разряд и соседние цифры. Для вычислений используйте смысл нуля: он не добавляет и не убирает единиц.

Разбор задач

Задача 1

На тарелке не осталось яблок. Нужно определить их количество и записать ответ цифрой. Слова «не осталось» означают, что предметов нет ни одного.

1. Определяем, сколько яблок находится на тарелке: 0.
2. Выбираем знак для записи нулевого количества: цифру 0.
3. Записываем результат одним символом.

Ответ: 0 яблок. Мы записали число, обозначающее отсутствие предметов, цифрой 0.

Задача 2

Нужно отметить на числовом луче числа 0 и 1 и определить, какое число стоит непосредственно после нуля. Также требуется найти расстояние между соседними отметками, если луч размечен единичными отрезками.

1. Ставим 0 в начальной, нулевой, точке луча.
2. Справа от неё откладываем один равный отрезок и подписываем следующую отметку числом 1.
3. Получаем: после 0 стоит 1, а расстояние между этими соседними отметками равно одной единице.

Ответ: после 0 стоит 1; расстояние между отметками равно 1 единице. Равные отрезки позволяют продолжить ряд вправо числами 2, 3 и далее.

Задача 3

Вычислим 7 + 0, 0 + 5, 9 − 0 и 6 − 6. В первых трёх примерах ноль не меняет количество при добавлении или удалении. В последнем примере из количества убирают все имеющиеся единицы.

1. 7 + 0 = 7, потому что к семи не добавили ни одной единицы.
2. 0 + 5 = 5, потому что пять единиц прибавили к пустому количеству.
3. 9 − 0 = 9, потому что ни одной единицы не убрали.
4. 6 − 6 = 0, потому что убрали все шесть единиц.

Ответ: 7; 5; 9; 0. Результаты проверяются по смыслу действий: ноль ничего не добавляет и не убирает, а вычитание одинаковых количеств оставляет отсутствие предметов.

Типичные ошибки

Ошибка: считать 0 «не числом», потому что он обозначает отсутствие предметов. Так думают из-за смешения понятия «ничего нет» с отсутствием результата. Проверьте себя: ноль имеет место на числовом луче и участвует в равенствах.

Ошибка: путать число 0 с цифрой 0. Причина в том, что один и тот же знак используют для записи количества. Спросите себя, говорится ли о количестве или о символе его записи.

Ошибка: пропускать ноль внутри многозначного числа. Его иногда считают ненужным, но удаление нуля меняет разряды и значение записи, например 105 превращается в 15. Проверьте, какие разряды есть в числе и сколько единиц в каждом.

Ошибка: считать, что a + 0 или a − 0 изменяет число. Такая ошибка появляется, если механически воспринимать знак действия, не учитывая количество добавленных или убранных единиц. Проверьте результат вопросом: добавили или убрали хоть один предмет?

Связь с другими темами

До изучения нуля нужно уметь считать предметы, сравнивать числа и отмечать их на числовом луче. Эти навыки помогают понять, почему пустое количество тоже можно записать. Они же позволяют увидеть положение 0 перед 1.

С разрядами многозначных чисел ноль связан как хранитель места. Цифра 0 показывает отсутствие единиц, десятков или другого разряда, не разрушая структуру записи. Поэтому 10, 100 и 105 читаются и записываются по-разному.

Дальше ноль понадобится при сложении, вычитании и решении уравнений. Он помогает записывать результаты и проверять преобразования. Свойства a + 0 = a и a − 0 = a будут использоваться в более сложных вычислениях.

Что запомнить

• Число 0 обозначает отсутствие предметов.
• Число 0 записывают цифрой 0.
• На числовом луче 0 находится в начальной точке.
• После числа 0 идёт число 1.
• Прибавление нуля не изменяет число: a + 0 = a.
• Вычитание нуля не изменяет число: a − 0 = a.