Урок 18. Кубик Рубика

Определения и обозначения

Кубик Рубика — объёмная головоломка, которую в математической модели представляют как куб из 27 маленьких кубов, расположенных 3×3×3. Цель сборки — добиться, чтобы каждая из шести внешних сторон стала одноцветной. Это определение помогает отделить математическую модель от устройства механизма внутри настоящей головоломки.

Грань куба — одна из шести квадратных поверхностей большого куба. У каждой грани есть свой цвет, а расположена она на одной из сторон куба: сверху, снизу или по бокам. Грани нужны, чтобы описывать, какие части головоломки видны и какой участок поворачивается.

Слой куба — ряд маленьких кубиков, образующий срез, параллельный одной из граней. В кубике 3×3×3 можно повернуть любой из трёх слоёв в каждом из трёх направлений: например, верхний, средний или нижний. Понятие слоя позволяет говорить о движении сразу нескольких элементов, а не каждого по отдельности.

Элементарный кубик — маленький куб, из которых составлена модель головоломки. По месту в конструкции он бывает угловым, рёберным, центральным или внутренним. Такое деление помогает понять, сколько его сторон открыто снаружи, и удобно для систематического подсчёта.

Как это устроено

Число 27 получается потому, что большой куб разбит на три части по каждому из трёх измерений: длине, ширине и высоте. В каждом направлении есть три позиции, поэтому для подсчёта перемножают их количества: 3 × 3 × 3 = 27. Если считать только один слой, получится 3 × 3 = 9 кубиков; таких слоёв по толщине — три.

Число видимых сторон маленького кубика зависит от того, насколько глубоко он расположен. Элементы на внешней поверхности имеют одну или несколько сторон, обращённых наружу, а тот, что окружён другими элементами, снаружи не виден. Если поверхность большого куба покрасить до разрезания, окрашенными окажутся только стороны маленьких кубиков, которые соприкасались с внешней поверхностью.

Вершина большого куба сходится сразу на трёх его гранях, поэтому кубик в вершине имеет три окрашенные стороны. На ребре сходятся две грани; кубик между вершинами получает две окрашенные стороны. В середине грани наружу обращена только одна сторона, а центральный элемент внутри не соприкасается с внешней поверхностью и не окрашивается.

Слой поворачивается как единая часть конструкции, поэтому его элементы меняются местами относительно остальных. Но поворот не создаёт новых кубиков и не убирает старые: он только переставляет их. Форма и объём головоломки сохраняются, поскольку поворачивается срез внутри прежней кубической оболочки.

Считать элементы удобнее по их типам, а не обходить каждую грань отдельно. Если считать по граням, угловой кубик попадёт в подсчёт три раза, а рёберный — дважды, потому что каждый виден с нескольких сторон. Разделение на угловые, рёберные, центральные и внутренние элементы устраняет повторы; итог можно проверить сложением всех групп.

Элементарные кубики в конструкции 3×3×3

Сначала определи положение элемента, а затем найди соответствующую строку: так можно узнать и число окрашенных сторон, и количество таких кубиков. Последний столбец даёт проверку: 8 + 12 + 6 + 1 = 27. При подсчёте по окрашенным сторонам не складывай элементы повторно с разных граней.

Разбор задач

Сколько всего кубиков и сколько угловых?

Кубик Рубика 3×3×3 разобрали на маленькие кубики. Чтобы посчитать их, нужно учесть все три измерения, а не только один видимый слой. Угловые элементы можно найти отдельно по вершинам большого куба. Поэтому решение удобно разделить на общий подсчёт и подсчёт углов.

1. По длине, ширине и высоте расположено по три маленьких кубика.
2. Умножаем количество позиций: 3 × 3 × 3 = 27.
3. У большого куба восемь вершин, в каждой находится один угловой элемент.

Ответ: всего 27 маленьких кубиков, из них 8 угловых.

Сколько кубиков имеют ровно две окрашенные грани?

Большой куб 3×3×3 покрасили снаружи и разрезали на единичные кубики. Ровно две окрашенные стороны получают элементы на рёбрах, но не в вершинах: угловые элементы соприкасаются с тремя гранями. Важно считать только оставшиеся места на рёбрах, иначе углы будут учтены лишний раз.

1. У куба 12 рёбер.
2. На каждом ребре в модели 3×3×3 есть три кубика: два угловых и один между ними.
3. На каждом ребре остаётся один кубик с двумя окрашенными сторонами, значит, всего 12 × 1 = 12.

Ответ: 12 кубиков имеют ровно две окрашенные грани.

Подсчёт для куба со стороной n

Куб со стороной n единичных кубиков покрасили снаружи. Число элементов каждого типа зависит от того, сколько позиций остаётся между углами на рёбрах, внутри граней и внутри всего куба. Для формул с выражением n − 2 считаем n ≥ 2; если таких внутренних позиций нет, соответствующая группа пуста.

1. Три окрашенные грани имеют элементы в восьми вершинах: 8.
2. На каждом из 12 рёбер между двумя углами остаётся n − 2 элементов: 12(n − 2).
3. Внутри каждой из шести граней остаётся квадрат размером (n − 2) × (n − 2): всего 6(n − 2)² элементов с одной окрашенной гранью.
4. Полностью внутри куба находится блок размером (n − 2) × (n − 2) × (n − 2): (n − 2)³ элементов без окрашенных граней.

Ответ: с тремя окрашенными гранями — 8; с двумя — 12(n − 2); с одной — 6(n − 2)²; с нулём — (n − 2)³.

Типичные ошибки

Ошибка — получить 9 кубиков, умножив только 3 × 3. Так находят число элементов в одном слое и забывают о высоте. Это происходит, если мысленно представить куб плоской сеткой; проверь себя, назвав отдельно длину, ширину и высоту и перемножив все три числа.

Центральные кубики грани иногда ошибочно относят к угловым или рёберным. Причина — считать по цвету или соседству, а не по месту элемента. Проверь, сколько внешних граней соприкасаются с кубиком: у центрального элемента грани одна, у углового три, у рёберного две.

При подсчёте по отдельным граням один и тот же элемент может встретиться несколько раз. Угол виден на трёх гранях, поэтому повторный обход создаёт лишний счёт. Чтобы проверить себя, сначала раздели элементы на непересекающиеся типы, а затем сложи количества: для модели 3×3×3 сумма должна составить 27.

Поворот слоя не означает, что головоломка стала состоять из другого числа кубиков или изменила форму. Такая мысль возникает, когда элементы сдвигаются относительно наблюдателя и кажется, что часть из них исчезла. Проверь результат поворота: все детали остались внутри кубической конструкции, изменилось только их расположение.

Связь с другими темами

Для подсчётов здесь нужны объём прямоугольного параллелепипеда по трём измерениям и понятия грани, ребра и вершины. Рассуждения о слоях и окрашенных сторонах развивают пространственное мышление и пригодятся при изучении объёма, площади поверхности и разбиения фигур на части. Наблюдение за поворотами подготавливает к темам симметрии, преобразований пространства и алгоритмов.

Что запомнить

• Кубик Рубика 3×3×3 состоит из 27 элементарных кубиков.
• У большого куба 8 угловых, 12 рёберных и 6 центральных кубиков граней.
• Угловой кубик имеет три окрашенные грани.
• Рёберный кубик имеет две окрашенные грани.
• Центральный кубик грани имеет одну окрашенную грань.
• Внутренний кубик не имеет окрашенных граней.
• Поворот слоя изменяет положение элементов, но не их количество и не форму куба.