Уроки 19-20. Равные фигуры

Определения и обозначения

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить наложением так, чтобы они полностью совпали. У них одинаковы форма и размеры, даже если на листе они расположены по-разному. Это понятие нужно, чтобы отличать точное совпадение фигур от простого сходства.

Наложение — мысленное или практическое перемещение одной фигуры без изменения её формы и размеров. Фигуру можно перенести, повернуть или перевернуть, но нельзя растянуть, сжать или согнуть. Наложение служит способом проверки равенства.

Соответственные точки — точки двух совмещаемых фигур, которые совпадают при наложении. Например, вершине одной фигуры соответствует вершина другой, если при совмещении они оказываются в одной точке. По соответствующим точкам удобно сопоставлять стороны и углы.

Равные многоугольники — многоугольники, которые при наложении полностью совпадают; их соответствующие вершины, стороны и углы совпадают. Вершины сопоставляют в одном и том же порядке по контуру. Это помогает не перепутать элементы при сравнении.

Как это устроено

При сравнении фигур нужно учитывать и форму, и размеры, потому что один признак не даёт полной информации. Например, два прямоугольника могут иметь одинаковую форму, но разные длину и ширину. Поэтому фигуры считаются равными только тогда, когда каждая часть одной фигуры может совпасть с соответствующей частью другой.

Наложение помогает проверить равенство, потому что показывает реальное совпадение всех точек. Одну фигуру мысленно или практически перемещают, поворачивают либо переворачивают, сохраняя её размеры. Если после этого остаются выступающие или непокрытые части, полного совпадения нет.

Положение фигуры на листе не влияет на её равенство другой фигуре, поскольку перенос и поворот не меняют ни длины, ни углы. Переворот также сохраняет форму и размеры, хотя меняет направление фигуры. Поэтому сравнивать нужно сами фигуры, а не их положение относительно краёв листа или клеток.

Когда многоугольники совмещены, вершины, оказавшиеся в одних точках, называют соответствующими. Сторона одной фигуры соответствует стороне другой, если их концы — соответствующие вершины; так же сопоставляют углы при этих вершинах. Удобно идти по контуру многоугольника в одном направлении и не менять порядок вершин.

У равных многоугольников соответствующие стороны имеют равные длины, а соответствующие углы — равные величины, потому что при наложении они занимают одни и те же места. Но совпадение только одной стороны или одного угла ничего не говорит о всей фигуре. Даже несколько равных элементов нужно сопоставлять в правильном порядке и проверять возможность полного совмещения.

Как сравнивать фигуры на равенство

Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом: сначала определите, какие элементы даны, затем выберите способ проверки. Для многоугольников особенно важно установить соответствие вершин, а не сравнивать случайные стороны. Совпадение означает, что соответствующие элементы имеют одинаковое положение, размер или величину после наложения.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге изображены два треугольника, один из которых повёрнут. Определите, равны ли они. Положение одного треугольника отличается, но это само по себе не мешает равенству.

1. Выберите вершину первого треугольника и найдите у второго вершину с таким же расположением сторон.
2. Поверните один треугольник так, чтобы выбранные вершины и стороны направились одинаково.
3. Совместите соответствующие вершины. Проверьте длины трёх сторон по клеткам и величины углов.
4. Если все стороны и углы совпали, никакая часть одной фигуры не выступает за другую.

Ответ: треугольники равны, если после поворота полностью совпадают; если хотя бы одна сторона или часть контура не совпала, они не равны.

Задача 2. У двух четырёхугольников попарно равны соответствующие стороны и углы. Достаточно ли этого, чтобы утверждать, что четырёхугольники равны? Нужно различить установленное полное соответствие и отдельное сравнение элементов.

1. Проверьте, что вершины сопоставлены в одном порядке по контуру.
2. Убедитесь, что каждой стороне соответствует сторона между соответствующими соседними вершинами, а каждому углу — угол при соответствующей вершине.
3. Если равенства относятся ко всем элементам именно в таком порядке, фигуры можно совместить наложением.
4. Если стороны и углы просто подобраны попарно без установленного соответствия, вывод делать нельзя.

Ответ: да, при полном и правильном соответствии всех сторон и углов; нет, если известны лишь отдельные попарные равенства без порядка соответствия.

Задача 3. На рисунке даны два многоугольника. Установите, равны ли они, и укажите соответствующие вершины, стороны и углы. Решение начинают не с измерения случайных элементов, а с поиска способа наложения.

1. Определите, сколько вершин у каждого многоугольника и выберите на каждом по одной заметной вершине.
2. Попробуйте совместить выбранные вершины и последовательно сопоставьте соседние вершины по контуру.
3. Запишите соответствия, например A↔A₁, B↔B₁, C↔C₁; тогда сторона AB соответствует A₁B₁, а угол ABC — углу A₁B₁C₁.
4. Проверьте весь контур. Полное совпадение всех вершин, сторон и углов означает равенство.

Ответ: многоугольники равны только при полном совмещении; соответствующие элементы определяют по совпадающим вершинам и их соседству по контуру.

Типичные ошибки

Считать фигуры равными только потому, что они похожи по форме, — ошибка: размеры могут различаться. Так бывает, когда ученик оценивает фигуры на глаз и не проверяет длины. Проверьте возможность полного наложения или сравните все нужные размеры.

Считать фигуры неравными из-за разного положения на рисунке тоже неверно. Фигуру можно повернуть или перевернуть, не меняя её свойств. Попробуйте сначала переместить её, а уже потом сравнивайте контуры.

Проверка только по одной стороне или одному углу не доказывает равенство фигур. Такой элемент может совпасть случайно, тогда как остальные части окажутся другими. Проверьте весь контур и все соответствующие элементы.

При сопоставлении многоугольников нельзя сравнивать случайные стороны и углы. Ошибка возникает, если не установить порядок вершин по контуру. Сначала запишите соответствующие вершины, затем сопоставляйте соединяющие их стороны и углы.

Связь с другими темами

До изучения равных фигур нужно уметь распознавать основные геометрические фигуры, измерять длины отрезков и определять величины углов. Эти навыки позволяют проверять совпадение элементов не только на глаз. Без них трудно обосновать результат наложения.

Понятие равенства фигур понадобится при изучении равенства треугольников и доказательстве геометрических утверждений. Идея наложения связана с перемещениями: переносом, поворотом и симметрией. Все такие перемещения сохраняют форму и размеры фигуры.

Что запомнить

• Равные фигуры полностью совпадают при наложении.
• Равенство фигур не зависит от их положения на плоскости.
• Наложение не должно растягивать или деформировать фигуру.
• У равных многоугольников совпадают соответствующие вершины, стороны и углы.
• Равенство отдельных элементов само по себе не всегда доказывает равенство фигур.