Уроки 18-19. Единицы счета

Определения и обозначения

Единица счёта — один предмет или одна единица, принимаемая за основу при счёте. Если считают яблоки, единицей будет одно яблоко, а если считают коробки — одна коробка. Это понятие помогает договориться, что именно принимают за одно целое при подсчёте.

Десяток — десять единиц, объединённых в одну укрупнённую единицу счёта. Например, десять карандашей можно считать по одному, а можно назвать одним десятком карандашей. Десяток нужен, чтобы удобнее считать большие количества и записывать их короче.

Сотня — десять десятков, или сто единиц. Её можно представить как сто отдельных предметов или как десять групп по десять предметов. Объединение в сотни позволяет продолжить счёт группами и не перечислять каждую единицу отдельно.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Например, цифра 3 в записи 30 означает три десятка, а в записи 300 — три сотни. Знание разрядов нужно, чтобы правильно читать числа и понимать, какое количество обозначает каждая цифра.

Как это устроено

Когда предметов становится много, пересчитывать их по одному неудобно: легко сбиться или пропустить предмет. Поэтому предметы объединяют в одинаковые группы, например по десять, и считают сначала группы, а затем оставшиеся отдельные единицы. Так возникают десятки, а счёт становится быстрее и точнее. Если десятков набирается десять, их можно объединить в сотню.

Разные единицы счёта связаны одним и тем же правилом укрупнения: десять единиц составляют один десяток, десять десятков — одну сотню, десять сотен — одну тысячу. Каждая следующая единица счёта в десять раз крупнее предыдущей. Это позволяет заменять десять групп одного вида одной группой следующего вида, не меняя общего количества предметов.

Значение цифры зависит от её места, потому что разряды обозначают единицы разного размера. В числе 555 первая справа цифра 5 означает пять единиц, следующая — пять десятков, а последняя — пять сотен. Если переставить цифры, получится другое число: меняется количество единиц каждого разряда. Поэтому при чтении и записи числа важно учитывать не только сами цифры, но и их порядок.

Любое многозначное число можно представить как сумму разрядных единиц: отдельно записать тысячи, сотни, десятки и единицы, обозначенные его цифрами. Например, 7 432 — это 7 000 + 400 + 30 + 2. Такое представление показывает, из каких частей составлено число, и помогает проверять его запись. Чтобы прочитать число, можно назвать разрядные группы слева направо, а чтобы записать — расположить цифры по нужным разрядам.

Переход к более крупным единицам выполняют группировкой по десять: десять единиц заменяют одним десятком, десять десятков — одной сотней. При переходе обратно каждую крупную единицу заменяют десятью единицами предыдущего разряда. Например, 23 десятка можно представить как 2 сотни и 3 десятка, потому что 20 десятков составляют 2 сотни, а 3 десятка остаются. Количество предметов при такой замене не меняется.

Единицы счёта и их соотношения

Читайте таблицу сверху вниз: каждый следующий вид единицы в десять раз крупнее предыдущего. Столбец с количеством единиц показывает, сколько отдельных единиц содержится в названной группе. По последнему столбцу можно определить, в каком месте записи числа стоит цифра этого разряда.

Разбор задач

Представить число 7432 как сумму разрядных единиц и назвать количество тысяч, сотен, десятков и единиц

Смотрим на цифры числа слева направо: 7, 4, 3 и 2. Так как в записи четыре цифры, они обозначают тысячи, сотни, десятки и единицы соответственно. Каждую цифру нужно прочитать вместе с её разрядом, а затем составить сумму.

1. Цифра 7 стоит в разряде тысяч, значит, это 7 тысяч, или 7 000.
2. Цифра 4 обозначает 4 сотни, то есть 400; цифра 3 — 3 десятка, то есть 30.
3. Цифра 2 стоит в разряде единиц, поэтому она обозначает 2 единицы.
4. Складываем разрядные части: 7 432 = 7 000 + 400 + 30 + 2.

Такое разложение сохраняет исходное количество, потому что каждая цифра заменена равным ей количеством единиц своего разряда. Ответ: 7 тысяч, 4 сотни, 3 десятка и 2 единицы; 7 432 = 7 000 + 400 + 30 + 2.

Сколько десятков и единиц содержится в 86 десятках? Записать полученное число

Здесь сначала нужно понять, что задано не 86 отдельных единиц, а 86 десятков. Каждые десять десятков можно заменить одной сотней, поэтому выделим из 86 десятков как можно больше полных групп по десять. Остаток десятков запишем отдельно.

1. Разделим 86 десятков на группы по 10: получим 8 полных групп и ещё 6 десятков.
2. Каждая полная группа из 10 десятков равна одной сотне, значит, 8 групп — это 8 сотен.
3. Получилось 8 сотен и 6 десятков, а единиц без объединения в десяток нет.
4. Запишем разряды числа: 8 сотен, 6 десятков и 0 единиц — 860.

Проверить результат можно переводом обратно: 8 сотен — это 80 десятков, ещё 6 десятков дают 86 десятков. Ответ: 86 десятков содержат 8 сотен, 6 десятков и 0 единиц; полученное число — 860.

Записать число, в котором 5 тысяч, 3 сотни, 0 десятков и 8 единиц, затем объяснить роль нуля

Для записи числа каждому названному количеству отводят место соответствующего разряда. Сначала идут тысячи, затем сотни, десятки и единицы. Даже если в каком-то разряде единиц нет, место пропускать нельзя: иначе цифры сдвинутся и число изменится.

1. На место тысяч ставим цифру 5, так как дано 5 тысяч.
2. На место сотен ставим 3, а на место десятков — 0.
3. На место единиц ставим 8; получаем запись 5 308.
4. Проверяем по разрядам: 5 308 = 5 000 + 300 + 0 + 8.

Ноль показывает, что в числе нет десятков, и сохраняет место цифры 8 в разряде единиц. Если убрать ноль, получится 538: это уже другое число, потому что цифры займут другие разряды. Ответ: 5 308; ноль обозначает отсутствие десятков.

Типичные ошибки

Иногда десяток путают с цифрой 10, хотя это разные понятия. Десяток — единица счёта, в которую входят десять единиц, а 10 — запись числа с помощью цифр 1 и 0. Чтобы проверить себя, спросите: речь идёт о группе из десяти предметов или о записи числа?

Ещё одна ошибка — определять значение цифры, не учитывая её место. Например, цифра 6 в числе 60 обозначает шесть десятков, а в числе 600 — шесть сотен. Такая путаница возникает, если смотреть только на цифру; проверяйте, сколько разрядных позиций справа от неё и к какому разряду она относится.

Если пропустить нулевой разряд, запись может превратиться в другое число. Например, 5 308 нельзя записать как 538: ноль нужен, чтобы показать отсутствие десятков и сохранить положение остальных цифр. Проверяйте, что в записи есть отдельное место для каждого названного разряда, даже если его количество равно нулю.

Количество единиц и количество единиц счёта — не всегда одно и то же. Цифра 4 в числе 4 000 означает четыре тысячи, а не четыре отдельные единицы. Ошибку помогает заметить чтение числа по разрядам: назовите разряд цифры и только после этого указывайте её количество.

Связь с другими темами

Для работы с единицами счёта нужно знать последовательность натуральных чисел, состав числа и уметь считать группами по десять. Эти знания помогают понять, откуда берутся десятки и почему их можно объединять в сотни. Разрядное строение чисел понадобится при изучении нумерации многозначных чисел и их сравнении. Оно также помогает правильно выполнять письменные сложение, вычитание, умножение и деление: вычисления ведут с учётом разрядов.

Что запомнить

• Основная единица счёта — единица.
• Десять единиц составляют один десяток.
• Десять десятков составляют одну сотню.
• Десять сотен составляют одну тысячу.
• Значение цифры определяется её местом в записи числа.
• Ноль показывает отсутствие единиц соответствующего разряда.
• Число можно представить как сумму разрядных единиц.