Уроки  24–25. Числовой отрезок

Определения и обозначения

Числовая прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, положительным направлением и единичным отрезком. Она устанавливает соответствие между точками и числами: каждой точке отвечает одно число. Благодаря этому числа можно изображать, сравнивать и измерять расстояния между ними.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу. Он задаёт масштаб числовой прямой: например, одной единице может соответствовать одна клетка или несколько клеток. От выбранного масштаба зависит расстояние на рисунке, но не сами координаты точек.

Координата точки — число, соответствующее этой точке на числовой прямой. Координату записывают рядом с точкой или так: A(a), где A — название точки, а a — её координата. По координате можно определить положение точки и сравнить её с другими точками.

Числовой отрезок — часть числовой прямой между двумя точками, координаты которых равны заданным числам. Если его концы имеют координаты a и b, то ему принадлежат все числа от меньшего из a и b до большего, включая оба конца. Такой отрезок используют, когда рассматривают ограниченный промежуток числовой прямой.

Как это устроено

Для построения числовой прямой недостаточно провести обычную линию. Начало отсчёта определяет, где находится ноль, направление показывает, в какую сторону числа увеличиваются, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Если изменить хотя бы один из этих выборов, расположение чисел на рисунке изменится.

Чтобы отметить положительное число, от начала отсчёта двигаются по положительному направлению и откладывают нужное число единичных отрезков. Для дроби единичный отрезок сначала делят на равные части по знаменателю, а затем отсчитывают число долей по числителю. Отрицательное число откладывают в противоположную сторону, потому что его знак указывает направление от нуля.

Координату точки находят по её положению относительно нуля и единичных делений. Если точка стоит справа от начала отсчёта, её координата больше координаты любой точки левее неё. Поэтому на числовой прямой точка правее всегда соответствует большему числу, даже если обе координаты отрицательные: −2 больше, чем −5.

Чтобы построить числовой отрезок с концами a и b, сначала отмечают на прямой точки с такими координатами, а затем мысленно или линией соединяют их часть прямой. Между концами находятся все числа, координаты которых не меньше меньшего конца и не больше большего. Концы включаются в отрезок, поэтому это множество можно записать так: от min(a, b) до max(a, b), включая границы.

Длина отрезка показывает расстояние между его концами и не может быть отрицательной. Если координаты концов равны a и b, сначала находят их разность b − a, а затем берут модуль: |b − a|. Модуль нужен потому, что порядок вычитания может дать отрицательный результат, хотя расстояние всегда неотрицательно.

Элементы числовой прямой и действия с ними

Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм: сначала задают устройство прямой, затем определяют координаты точек. При работе с отрезком проверьте, какой конец левее, но для длины это несущественно благодаря модулю.

Разбор задач

Задача 1

На числовой прямой единичный отрезок разделён на 5 равных частей. Нужно отметить точку с координатой 3/5. Знаменатель показывает, на сколько частей делят единичный отрезок, а числитель — сколько таких частей откладывают.

1. Делим единичный отрезок от 0 до 1 на пять равных долей.
2. От начала отсчёта в положительном направлении отсчитываем три доли.
3. Точка после третьего деления имеет координату 3/5.

Ответ: точку 3/5 нужно поставить на третьем из пяти равных делений между 0 и 1.

Задача 2

Построим числовой отрезок с концами −2 и 4 и перечислим целые числа, которые ему принадлежат. Сначала отмечаем обе координаты, затем учитываем все целые точки между ними, не исключая границы.

1. На числовой прямой отмечаем точку с координатой −2 слева от нуля и точку с координатой 4 справа.
2. Соединяем эти точки: получаем числовой отрезок [−2; 4].
3. Перечисляем целые числа от −2 до 4 по порядку: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

Ответ: числовой отрезок [−2; 4], целые числа: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

Задача 3

Точки A и B имеют координаты −3,5 и 2,25. Требуется найти длину AB и координату середины отрезка. Для длины берём расстояние между координатами, а середина должна быть расположена ровно посередине между ними.

1. Находим длину: |2,25 − (−3,5)| = |5,75| = 5,75.
2. Складываем координаты концов: −3,5 + 2,25 = −1,25.
3. Делим полученную сумму на 2: −1,25 : 2 = −0,625.
4. Проверяем положение: −0,625 находится между −3,5 и 2,25, значит результат подходит.

Ответ: AB = 5,75, координата середины равна −0,625.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что единичный отрезок всегда равен одной клетке. Так думают из-за привычного школьного масштаба, но единица может занимать несколько делений. Проверьте себя: найдите на рисунке расстояние от 0 до 1 и используйте именно его.

Ошибка: откладывать отрицательное число вправо. Её допускают, когда ориентируются только на величину числа и забывают о знаке. Проверьте направление: отрицательная координата должна находиться по противоположную сторону от нуля относительно положительных чисел.

Ошибка: путать координату с расстоянием от начала отсчёта. Расстояние показывает только величину удаления и не бывает отрицательным, а координата хранит ещё и направление. Если точка слева от нуля, её координата отрицательна, хотя расстояние до нуля положительно.

Ошибка: исключать концы отрезка или забывать модуль при вычислении длины. Концы входят в числовой отрезок, а длина не может быть отрицательной. Проверьте запись границ и вычислите |b − a|, даже если сначала получается отрицательная разность.

Связь с другими темами

До изучения числового отрезка нужно уметь сравнивать числа, работать с положительными и отрицательными числами и понимать единицы измерения длины. Эти знания помогают правильно определить направление, координаты и расстояние.

Числовая прямая используется при сравнении и изображении рациональных чисел, нахождении расстояний между ними и изучении числовых промежутков. Позже она помогает понимать координаты, неравенства и графики.

Что запомнить

• На числовой прямой заданы начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок.
• Каждой точке числовой прямой соответствует число — её координата.
• Чем правее точка на числовой прямой, тем больше её координата.
• На числовом отрезке с концами a и b лежат числа между концами, включая сами концы.
• Длина отрезка с концами a и b равна |b − a|.
• Изменение масштаба меняет расстояния на рисунке, но не координаты заданных точек.