Уроки 35-37. Сложение и вычитание двузначных чисел

Определения и обозначения

Разрядный состав двузначного числа — представление числа как суммы десятков и единиц, например 36 = 30 + 6. Число 30 показывает, сколько в нём десятков, а 6 — сколько единиц сверх них. Такое разложение помогает видеть, какие части числа нужно складывать или вычитать друг с другом. Оно служит основой вычислений по разрядам.

Сложение двузначных чисел — сложение чисел, каждое из которых содержит десятки и единицы. Например, числа 23 и 14 можно представить как 20 + 3 и 10 + 4. Тогда десятки складывают с десятками, а единицы — с единицами. Такой способ упорядочивает вычисление и позволяет заметить, когда единицы образуют новый десяток.

Вычитание двузначных чисел — действие, в котором уменьшаемое и вычитаемое рассматривают по разрядам или раскладывают на удобные слагаемые. Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. Разложение на десятки и единицы помогает вычитать части по отдельности. Если единиц не хватает, разряды приходится перегруппировать.

Переход через разряд — перегруппировка единиц и десятков во время вычисления. При сложении 10 единиц заменяют одним десятком, а при вычитании один десяток можно разменять на 10 единиц. Благодаря этому сохраняется значение числа: меняется только способ его представления. Понятие нужно, когда обычного количества единиц для действия не хватает или получается больше девяти.

Как это устроено

Разложение числа на десятки и единицы позволяет выполнять действия с его частями. Например, 42 — это 40 и 2, а 35 — это 30 и 5. При сложении или вычитании сначала удобно сопоставить части одного разряда, потому что десяток содержит десять единиц и не равен одной единице. После работы с разрядами результаты соединяют, получая целое число.

Если при сложении единиц не получается 10, десятки и единицы можно вычислить независимо. Например, в сумме 23 + 14 единицы дают 3 + 4 = 7, а десятки — 20 + 10 = 30. Это возможно потому, что единицы остаются единицами и не меняют число десятков. Соединив результаты 30 и 7, получаем 37.

Когда сумма единиц равна 10 или больше, её нужно перегруппировать. Сначала складывают единицы, затем выделяют в их сумме полный десяток: например, 15 единиц — это 1 десяток и 5 единиц. Оставшиеся единицы относятся к разряду единиц, а выделенный десяток прибавляют к десяткам чисел. Без этого шага в ответе потеряется часть значения суммы.

При вычитании без перехода через разряд из единиц уменьшаемого можно вычесть единицы вычитаемого, а из десятков — десятки. Например, если единиц достаточно, каждое разрядное действие остаётся в своём разряде. Затем получившиеся десятки и единицы соединяют в ответ. Такой порядок удобен тем, что позволяет отдельно проверить каждую часть вычисления.

Если единиц уменьшаемого меньше, чем единиц вычитаемого, выполняют размен. Один десяток уменьшаемого превращают в 10 единиц, поэтому единиц становится больше, а десятков — на один меньше. После этого вычитают единицы и оставшиеся десятки. Результат можно проверить сложением: к разности прибавляют вычитаемое, и должна получиться исходная величина — уменьшаемое.

Сложение и вычитание двузначных чисел по разрядам

В таблице собраны действия для четырёх случаев. Сначала найди строку, подходящую к примеру, затем выполни действия с единицами и десятками. В последнем столбце указано, что важно учесть, чтобы правильно соединить разрядные результаты.

Разбор задач

Задача: вычисли 23 + 14. Здесь можно обойтись без перехода через разряд: сумма единиц меньше 10. Представим каждое число как сумму десятков и единиц, чтобы не смешивать разные разряды. Затем сложим соответствующие части и объединим результат.

1. Разложим числа: 23 = 20 + 3, 14 = 10 + 4.
2. Сложим единицы: 3 + 4 = 7; сложим десятки: 20 + 10 = 30.
3. Объединим результаты: 30 + 7 = 37.

Ответ: 37. В разряде единиц осталось 7, а сумма десятков составила 30. Поскольку единицы не образовали новый десяток, менять количество десятков не пришлось. Такой результат можно проверить обратным разложением: 37 состоит из 30 и 7.

Задача: вычисли 47 + 28. Сначала посмотрим на единицы: 7 + 8 = 15, а это больше девяти. Значит, часть единиц нужно превратить в десяток и прибавить его к десяткам. Так мы учитываем всю сумму, не оставляя в разряде единиц число 15.

1. Разложим числа: 47 = 40 + 7, 28 = 20 + 8.
2. Сложим единицы: 7 + 8 = 15, то есть 1 десяток и 5 единиц.
3. Сложим десятки с учётом нового десятка: 40 + 20 + 10 = 70.
4. Соединим разряды: 70 + 5 = 75.

Ответ: 75. Один десяток из 15 единиц учтён вместе с десятками, поэтому в разряде единиц осталась только 5. Если бы записать 15 как количество единиц ответа, разрядный состав результата оказался бы неверным. Полученное число содержит 7 десятков и 5 единиц.

Задача: вычисли 72 − 38 и проверь ответ сложением. В числе 72 всего 2 единицы, а вычесть нужно 8, поэтому единиц пока не хватает. Разменяем один десяток на 10 единиц: число не изменится, но его запись для вычисления станет другой. После вычитания проверим результат сложением с вычитаемым.

1. Разменяем один десяток: 72 = 60 + 12.
2. Вычтем единицы: 12 − 8 = 4.
3. Вычтем десятки, учитывая размен: 60 − 30 = 30.
4. Соединим результаты: 30 + 4 = 34.
5. Проверим: 34 + 38 = 72.

Ответ: 34. Проверка вернула исходное число 72, значит, результат согласуется с условием вычитания. После размена в десятках осталось 6 десятков, поэтому из них вычитали 3 десятка. Размен меняет запись числа, но не само число.

Типичные ошибки

• Смешивают десятки и единицы. Например, пытаются сложить десятки одного числа с единицами другого, потому что смотрят на цифры подряд, не учитывая их место. Тогда части чисел теряют своё значение. Для проверки подпиши разряды или разложи числа на десятки и единицы.
• Забывают перенести десяток при сложении. Если сумма единиц больше 9, иногда записывают только её, не учитывая, что часть единиц образовала десяток. Так происходит, когда считают единицы отдельно и не возвращаются к разряду десятков. Проверь, что сумма единиц представлена как десяток и остаток, а десяток прибавлен к десяткам.
• Вычитают единицы в неверном порядке. Когда единиц уменьшаемого меньше, ребёнок может попытаться вычесть большее число из меньшего, не выполняя размен. Причина — желание действовать только с цифрами, не меняя запись числа. Проверь, хватает ли единиц; если нет, размени десяток и только потом вычитай.
• При размене не уменьшают десятки. К единицам прибавляют 10, но забывают забрать один десяток, и в записи получается число больше исходного. Ошибку легко не заметить, если смотреть только на действие с единицами. Проверь равенство до и после размена: например, 72 = 60 + 12, а не 70 + 12.

Связь с другими темами

Для этих вычислений нужно уметь представлять двузначное число как сумму десятков и единиц, а также складывать и вычитать круглые десятки. Разложение на разрядные слагаемые пригодится при устных и письменных действиях с многозначными числами: принцип остаётся тем же, даже когда разрядов становится больше. Проверка вычитания сложением помогает контролировать вычисления и может быть полезна при решении текстовых задач.

Что запомнить

• Двузначное число можно разложить на десятки и единицы.
• Десятки складывают или вычитают с десятками, единицы — с единицами.
• При сложении 10 единиц образуют 1 десяток.
• При вычитании можно разменять 1 десяток на 10 единиц.
• Переход через разряд нужно учитывать в разряде десятков.
• Вычитание можно проверить сложением.